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Exercice 1 Mouvements dans les champs de pesanteur et leurs applications

Partie 1 Mouvement dans le champ de pesanteur.

1.Etude de la tension du fil de suspension du solide.

a) Bilan des forces qui s’exerce sur le   solide (S) lorsque celui-ci est en M.

· Le poids  $\overrightarrow P$

         · La tension du fil $\overrightarrow T$

 b) Expression de la tension T_M

Supposons le référentiel de Frenet galiléen et appliquons y le théorème du centre d’inertie

$\overrightarrow P  + \overrightarrow T  = m.{\overrightarrow a _G}$  $\Leftrightarrow \overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - mg\cos (\alpha )\\mg\sin (\alpha )\end{array} \right. + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}{T_M}\\0\end{array} \right.$  $= m{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_n} = \frac{{v_M^2}}{l}\\{a_\tau } = \frac{{d{v_M}}}{{dt}}\end{array} \right.$

Suivante la direction de $\overrightarrow n$ nous avons :

$- mg\cos (\alpha ) + {T_M}$ $= m.\frac{{v_M^2}}{l}$  $\Rightarrow {T_M} = mg\cos (\alpha ) + m.\frac{{v_M^2}}{l}$

c) Le fil restera tendu si et seulement si T≥0: soit

${T_C} = mg\cos (\alpha )$ $+ m.\frac{{v_C^2}}{l} \ge 0 \Rightarrow$ $v_C^2 \ge  - l.g.\cos (\alpha )$

Le plus petite valeur de la tension est obtenue au point C,

Pour $\alpha  = \pi {\rm{rad }}$ soit ${v_C} = \sqrt { - l.g.\cos (\pi )}$ $= \sqrt {l.g}$

Soit v_C=2,45m/s

2. Les équations horaires littérales du mouvement de (S) après sa libération, dans le repère (O, x, z) du plan verticalNoter que droite d’action de la vitesse en O est tangent au cercle et toutes droites tangente à un cercle est perpendiculaire à son rayon.

Supposons le référentiel (O, x, y) et appliquons y le théorème du centre d’inertie.

La seule force extérieur appliquée au solide est son poids.

$\overrightarrow P  = m{\overrightarrow a _G}$  $\Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \overrightarrow g$

Projetons la relation (1) suivant les différents axes de coordonnées:

${\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = 0\\{a_{Gy}} =  - g\end{array} \right.$  $\Rightarrow \overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\beta ) = {v_{0x}}\\{v_y} =  - gt + {v_0}\sin (\beta )\end{array} \right.$  $\Rightarrow \overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = ({v_0}\cos (\beta ))t{\rm{  (1) }}\\y =  - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (\beta )t{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

b) L’Equation de la trajectoire est donc

$t = \frac{x}{{{v_0}\cos (\beta )}}{\rm{ }}$ Soit $y =  - \frac{1}{2}g{(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})^2}$  $+ {v_0}\tan (\alpha ).x$

Partie 2: Pendule élastique

2.a) Les intensités de la force électrique

À l’équilibre, nous avons :

$\overrightarrow P  + \overrightarrow T  + \overrightarrow F  = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - mg\sin (\theta )\\ - mg\cos (\theta )\end{array} \right.$ $+ \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}0\\T\end{array} \right. + \overrightarrow F \left| \begin{array}{l}F\\0\end{array} \right. = \overrightarrow 0 \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.$

Suivant l’axe x’x nous avons :

$F = m.g\sin (\theta )$

F=6,84 10^-2 N

Suivant y’y nous avons :

$T = mg\cos (\theta )$

T= 18,8 10^-2 N

2.b) Déterminons la valeur algébrique de la tension

$F = k\frac{{\left| q \right|\left| Q \right|}}{{B{M^2}}}$  $\Rightarrow \left| Q \right| = \frac{{F.B{M^2}}}{{k\left| q \right|}}$

$\left| Q \right| = 4,75 \times {10^{ - 7}}C$

Puisqu’il y a attraction entre les deux charges, alors sont de signes contraires.

$Q =  - 4,75 \times {10^{ - 7}}C$

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Exercice 2: Les systèmes oscillants

Partie 1 : Oscillateur mécanique

 

1. Le système est considéré à l’équilibre:

1.a) Montrons qu’on peut écrire ${m_A}g - k\Delta {l_0} = 0$

Lorsque le système est en équilibre on a :

Pour le solide ( B)

$\overrightarrow {{P_B}}  + \overrightarrow {{R_B}}$ $+ \overrightarrow {{T_B}}  + {\overrightarrow {T'} _B} = \overrightarrow 0 {\rm{ }}$ $\Rightarrow \overrightarrow {{P_B}} \left| \begin{array}{l}0\\ - mg\end{array} \right. + \overrightarrow {{R_B}} \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right.$ $+ \overrightarrow {{T_B}} \left| \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right. + {\overrightarrow {T'} _B}\left| \begin{array}{l} - T{'_B}\\0\end{array} \right.$ $= \overrightarrow 0 \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.$

Nous avons donc ${T_B} = T = \Delta {L_0}$

D’après le principe des actions réciproque T_B=T’₂

Pour la poulie ( P)

${\mathfrak{M}_\Delta }({\overrightarrow T _2}) +$ ${\mathfrak{M}_\Delta }({\overrightarrow {T'} _2}) = 0$

${T_2}r - T{'_2}.r = 0$ $\Rightarrow {T_2} = T{'_2}$

D’après le principe des actions réciproque T₂=T₁

${T_1} = P = {m_A}.g$

Ainsi : ${m_A}g = P$ $= {T_1} = {T_2}$ $= T{'_2} = {T_B}$ $= T{'_B} = k.\Delta {l_0}$

${m_A}g = k.\Delta {l_0}$

1.b) Evaluons numériquement Δl₀

${m_A}g = k.\Delta {l_0}$ $\Rightarrow \color{blue}{ \Delta {l_0} = \frac{{{m_A}g}}{k}}$ $= 6,25{\rm{cm}}$

2. Montrons que le solide B effectue un mouvement rectiligne sinusoïdal

Appliquons le TCI au solide (B) en supposant le référentiel (x B y) galiléen

$\overrightarrow {{P_B}}  + \overrightarrow {{R_B}}$ $+ \overrightarrow {{T_B}}  + {\overrightarrow {T'} _B}$ $= {m_B}{\overrightarrow a _G}$

$\overrightarrow {{P_B}} \left| \begin{array}{l}0\\ - {m_B}g\end{array} \right. +$ $\overrightarrow {{R_B}} \left| \begin{array}{l}0\\{R_B}\end{array} \right. + \overrightarrow {{T_B}} \left| \begin{array}{l}{T_B}\\0\end{array} \right.$ $+ {\overrightarrow {T'} _B}\left| \begin{array}{l} - T{'_B}\\0\end{array} \right.$ $= {m_B}{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_G}\\0\end{array} \right.$

Alors : ${T_B} - T{'_B}$ $= {m_B}{a_G}{\rm{ (\color{red}{1)}}}$

La masse de la poulie étant négligeable T₂=T’₂

Appliquons le TCI au solide (A) en supposant le référentiel (x B y) galiléen

$\overrightarrow P  + \overrightarrow {{T_1}}  = {m_A}{\overrightarrow a _G}$ $\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}0\\ - {m_A}g\end{array} \right.$ $+ \overrightarrow {{T_1}} \left| \begin{array}{l}0\\{T_1}\end{array} \right.$ $= {m_A}{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\ - {a_G}\end{array} \right.$

$- {m_A}g + {T_1}$ $=  - {m_A}.{a_G}$ ${\rm{(\color{red}{2)}}}$

Nous avons montré que T₁=T_B

${T_1} = {T_B}$ et $T{'_B} = k(x + \Delta {l_0})$

Des relations (1) et (2) nous avons :

${T_1} = {T_B}{\rm{ }}$ ${m_A}.g - {m_A}.{a_G}$ $= T{'_B} + {m_B}.{a_G}$

${m_A}.g - {m_A}.{a_G}$ $= k(x + \Delta {l_0})$ $+ {m_B}.{a_G}$

${m_A}.g - k\Delta {l_0}$ $= k.x + ({m_A}$ $+ {m_B}).\ddot x$

${m_A}.g - k\Delta {l_0} = 0$ $\Rightarrow k.x + ({m_A}$ $+ {m_B}).\ddot x = 0$

$\ddot x + \frac{k}{{{m_A} + {m_B}}}x = 0$

C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation

$\omega _0^2 = \frac{k}{{{m_A} + {m_B}}}$ et de periode ${T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{{{m_A} + {m_B}}}{k}}$

Partie B Oscillateur électrique

1.Indiquons sur le schéma du circuit comment l’oscilloscope doit être connecté au circuit pour obtenir l’aspect de la figure.

2.Déterminer la fréquence f des deux tensions

$T = 5div.0,5\frac{{ms}}{{div}}$ $= 2,5{\rm{m/s}} = 2,5 \times {10^{ - 3}}s$ $f = \frac{1}{T} = 400Hz$

3. Le déphasage φ entre les deux tensions est

$\varphi  = \omega .\Delta t$ $= 2\pi f.\Delta t$ $= 0,64{\rm{rad}}$

La tension u(t) est en avance sur u_R(t).

4. Calcule de l’impédance

$\cos (\varphi ) = \frac{R}{Z}$ $\Rightarrow Z = \frac{R}{{\cos (\varphi )}}$      $\color{blue}{Z = 125\Omega }$

Calcule de la capacité du condensateur

$\tan (\varphi ) =$ $\frac{{L\omega  - \frac{1}{{C\omega }}}}{R} \Rightarrow$ $C = \frac{1}{{L{\omega ^2} - R\omega \tan (\varphi )}}$    $\color{blue}{C = 3,76\mu F}$

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Exercice 3: Phénomènes ondulatoires et corpusculaires.

Partie A: Phénomènes ondulatoires 

1.La longueur d’onde est la distance parcourue  pendant une période ( la distance séparant deux maxima consécutifs de l'amplitude ).

2.a La frange d’ordre $p' =  - 4,5 \notin Z$ est sombre.

2.b La distance entre le milieu de cette frange et le milieu de la frange centrale

$d = \left| {p'} \right|i$ $= \left| {p'} \right|\frac{{\lambda .D}}{a}$  d=2,7 mm

Partie B: Phénomènes corpusculaires

1.a) Calcule en eV, l’énergie E d’un photon de radiation éclairante

$E = h.\vartheta  = h\frac{C}{\lambda }$  $E = 2,61ev$

Cette radiation déclenchera l’effet photoélectrique parce que : $E \ge {W_0}$

2.a) Equation de désintégration

${}_{90}^{227}Th \to$ ${}_2^4He + {}_{88}^{223}Ra$

2.b) Calcule de la masse ∆m de thorium disparue au bout de 54 jours

$\Delta m =$ ${m_0} - \frac{{{m_0}}}{{{2^{\frac{t}{T}}}}}$ $= {m_0}(1 - \frac{1}{{{2^3}}})$      $\Delta m = 0,437g$

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Exercice 4: Etude d’un pendule et mesure de l’intensité de la pesanteur d’un lieu.

1.a. Il faut en plus :

- un rapporteur, -une ficelle, -un chronomètre.

1.b Protocole expérimental.

Pour chaque masse m₁, m₂ et m₃ , on constitue une pendule. On l’écarte de sa position d’équilibre d’un angle inferieur à 0,14rad, puis on le lâche sans vitesse initiale. On note en suite un nombre constant d’oscillations.

La période est donnée par $T = \frac{t}{n}$  où T est la période des oscillations et n le nombre d’oscillations, t le temps mis pour effectuer ces n oscillations. Si T est constant quelque soit la masse m_i, alors la période ne dépend de la masse du pendule.

2. Etude de l’influence de la longueur l du pendule.

 2.a Les élèves mesurent la durée de 10 oscillations au lieu d’en mesurer la durée d’une seule pour minimiser l’erreur sur la mesure du temps.

2.b) Traçons la courbe $T_0^2 = f(l)$

 

2.c) Valeur expérimentale de l’intensité du champ de pesanteur

$T_0^2 = \frac{{4{\pi ^2}}}{g}l$ .  À partir du graphe  $\tan (\theta )$ $= \frac{{\Delta T_0^2}}{{\Delta l}}$ $= \frac{{4 - 1}}{{1 - 0,25}}$ $= 4$

Soit $\frac{{4{\pi ^2}}}{g}$ $= \tan (\theta ) = 4$ $\Rightarrow g = \frac{{4{\pi ^2}}}{4}$ $= 9,86{\rm{m/s}}$

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