L’épreuve comporte deux exercices et un problème sur deux pages.
Exercice l (4 points)
1. Soit \(({u_n})\) une suite arithmétique de premier terme \({u_k}\) et de raison r, k entier naturel.
a) Soit n un entier naturel, \(n \ge k\). Exprimer \(({u_n})\) en fonction de n, \({u_k}\) et r. 0,75 pt
b) Exprimer :
\({S_n} = {u_k}\) \( + {u_{k + 1}} + \) \(... + {u_n}\)
en fonction de n, \({u_k}\) et r. 0,75 pt
2. a) Le 5ieme terme d’une suite arithmétique est 3 et le 10ieme est 13. Quelle est la raison de cette suite ? 0,75 pt
b) La somme des 5 premiers termes d’une suite arithmétique est 30. Quelle est la raison de cette suite si le premier terme est 2 ? 0,75 pt
3. À l’occasion de son anniversaire, Mme Wedze a réuni tous ses petits-fils. Ils ont tous des âges différents. Elle décide de leur partager entièrement un paquet de bonbons en procédant comme suit : le plus jeune en âge reçoit 2 bonbons, le suivant en âge reçoit 4 bonbons, ainsi de suite en ajoutant 2 bonbons de plus que pour le précédent. L’ainé des petits-fils lui fait remarquer qu’en donnant 6 bonbons à chacun cela fera l’affaire et le paquet sera entièrement distribué.
a) Combien Mme Wedze a-t-elle de petits-fils ? 0,75 pt
b) Combien de bonbons contenait le paquet ? 0,25 pt

Exercice 2 (5 points)
Le tableau suivant donne la répartition des tailles (en centimètres) des élèves d’une classe de 1ere TI.

1. Tracer, dans un repère convenablement choisi, l’histogramme de cette série. 1,5 pt
2. a) Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série. Pour cela, on prendra en abscisse 1 cm pour 5 cm et en ordonnée 1 cm pour 5 individus. 1,25 pt
b) Déterminer graphiquement et par calcul, au centimètre près, la taille \({m_e}\) médiane de ces élèves. On laissera apparent les trais utilisés pour la lecture graphique. 1 pt
3. Calculer la moyenne m et la variance v de cette série. 1,25 pt

Problème (11 points)
Tous les dessins et graphiques de ce problème se feront sur un seul et unique graphique.
Le plan est rapporte’ au repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) On prendra 1 cm pour graduation sur les axes.

Partie A
1. Soit A un point du plan. On note G le milieu du segment [A0].
a) Montrer que pour tout point M du plan,
\(O{M^2} + \) \(A{M^2} = \) \(2G{M^2} + \) \(\frac{1}{2}O{A^2}\) 0,75 pt
b) En déduire la nature et les éléments caractéristique de l'ensemble \(({\Gamma _1})\) des points M du plan tels que \(O{M^2} + \) \(A{M^2} = \) \(O{A^2}\) 0,75 pt
2. Soit \(({\Gamma _2})\) ensemble des points M(x, y) tels que :
\({x^2} + {y^2}\) \( - 2x - 4y\) \( = 0\)
a) Montrer que \(({\Gamma _2})\) est un cercle dont on précisera le centre G et le rayon r. 0,75 pt
b) Vérifier que le point A(2, 4) appartient à \(({\Gamma _2})\) et donner une équation de la tangente (T) à \(({\Gamma _1})\) en ce point. 0,75 pt
c) Tracer \(({\Gamma _2})\) et (T). 0,5pt

Partie B.
Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\)
Soit f la fonction définie sur \(D = \Re \) \( - \{ 1\} \) par :
\(f(x) = \) \(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
On note \(Cf\) la courbe représentative de f.
1. a) Calculer-les limites de f aux bornes de D. 1pt
b) En déduire une asymptote à la courbe \(Cf\). 0,25pt
c) Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x de D,
\(f(x) = \) \(ax + b + \) \(\frac{c}{{x - 1}}\) 0,75 pt
d) Montrer que la droite \((\Delta )\) : \(y = x + 1\) est asymptote la courbe \(Cf\) . 0,25 pt
2. a) Déterminer la fonction dérivée de f et dresser le tableau de variation de f 0,75 pt
b) Existe-t-il des points de \(Cf\) où la tangente à \(Cf\) est parallèle à la droite \((\Delta )\) ? Justifier votre réponse. 0,5 pt
3. Tracer la courbe \(Cf\). 0,75 pt
Pour ce qui suit, on pourra s’inspirer de la courbe \(Cf\). Soit m un paramètre réel. On considère l’équation \(({E_m})\) : \({x^2} - mx\) \( + m = 0\) et on note \(({\Delta _m})\), son discriminant.
4. a) Calculer \(({\Delta _m})\). 0,25 pt
b) Pour quelles valeurs de m l’équation \(({E_m})\) admet-elle une solution unique? 0,5 pt
c) Pour quelles valeurs de m l’équation \(({E_m})\)admet-elle deux solutions distinctes ? 0,5 pt
5. On suppose que l’équation \(({E_m})\) admet deux solutions distinctes x₁ et x₂.
a) Exprimer, en fonction de m, la somme \({S_m}\) et le produit \({P_m}\), de ces solutions. 0,5 pt
b) Peut-on trouver m tel que les solutions x₁ et x₂ soient toutes négatives ? 0,5 pt
c) Pour quelles valeurs de m les solutions x₁ et x₂ sont-elles de signes contraires ? 0,5 pt
d) Pour quelles Valeurs de m les solutions x₁ et x₂ sont-elles toutes positives C? 0,5 pt