Exercice I
1. Démontrons que les fonctions de la forme \(x \mapsto \) \(C{e^{ax}} - \frac{b}{a}\) où C est un réel, sont les solutions de l’équation différentielle \(y' = ay\) \( + b\)
Soit f une fonction définie sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \) \(C{e^{ax}} - \frac{b}{a}\)
Alors \(f'(x) = \) \(Ca{e^{ax}}\) ainsi, \(af(x)\) \( + b = \) \(aC{e^{ax}} - \) \(b + b\) \( = a{e^{ax}}\) \( = f'(x)\)
Conclusion : les fonctions de la formes \(x \mapsto \) \(C{e^{ax}} - \frac{b}{a}\) où C est un réel, sont les solutions de l’équation différentielle \(y' = ay\) \( + b\) 1 pt
2. Indiquons si chaque affirmation suivante est vraie ou fausse 3pts
a) Vraie
b) Fausse
c) Vraie
Exercice II 5 pts
1. Donnons l’angle et le rapport des similitudes S₁ et S₂ 2 pts
Le triangle ABM est rectangle isocele en M donc \(AB = \sqrt 2 AM\) et la mesure de \((\widehat {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AB} })\) \( = \frac{\pi }{2}\).
S, a pour angle \(\frac{\pi }{4}\) et de rapport \(\sqrt 2 \).
De même, on trouve que S₂ a pour angle \(\frac{\pi }{4}\) et pour rapport \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
2.a Deduissons–en les écritures complexes de S₁ et S₂ 1pt
S₁ : \(z' = \) \(\sqrt 2 {e^{\frac{{\pi i}}{4}}}\) \((z - {z_A})\) \( + {z_A} = \) \((1 + i)z\) \( - 2i\)
S₂ : \(z' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \({e^{\frac{{\pi i}}{4}}}z = \) \(\frac{1}{2}(1 + i)z\)
2.b) Déduisons-en les affixes Z_M et Z_N 1pt
\({z_M} = \) \(\frac{{{z_B} + 2i}}{{1 + i}}\) \( = \frac{9}{4} + \frac{3}{4}i\)
\({z_N} = \) \(\frac{1}{2}(1 + i){z_B}\) \( = \frac{1}{4} + \frac{5}{4}i\)
2.c Donnons, par lecture graphique, l’affixe Zp du point P
\({z_P} = 1 + i\)
Démontrons que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires 0,5 pt
\(\frac{{{z_O} - {z_M}}}{{{z_P} - {z_N}}}\) \( = - i\)
Donc les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires, On peut aussi montrer que \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 0\).

Problème /11 pts
A.1 Etudins la limite de la foncfion f en \( - \infty \) puis en \( + \infty \) 0,5pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) \( = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) \( = - \infty \)
A.2 Démontrons que la droite d’équation \(y = 2x + 1\) est asymptote à la courbe (C) en \( - \infty \) et précisons la position de (C) par rapport à la droite (\(\Delta \)) 0,75 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x)\) \( - 2x - 1]\) \( = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - \frac{1}{e}x{e^x})\) \( = 0\)
La droite (\(\Delta \)) est asymptote à (C) en \(  - \infty \)
\( - \frac{1}{e}x{e^x} \prec 0\) si \(x \in [0; + \infty [\) et \( - \frac{1}{e}x{e^x} \succ 0\) si \(x \in ] - \infty ; + 0[\)
Conclusion (C) est au dessus de \((\Delta )\) dans \(] - \infty ; + 0[\) et en dessous de \((\Delta )\) dans \(]0, + \infty [\)
A.3.a Calculons la dérivée f’ et la dérivée f’’ de la fonction f :
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\),
\(f'(x) = \) \(2 - (1 + x)\) \({e^{x - 1}}\)
\(f''(x) = \) \( - (2 + x){e^{x - 1}}\)
A.3.b Dressons le tableau de variations de la fonction f’
A.3.c Calculons f’(1) et en déduisons-en le signe de f’ 0,75pt
\(f'(1) = \) \(2 - (1 + 1)\) \({e^0} = 0\)
Donc \(f'(x) \succ 0\) si \(x \in ] - \infty ;1[\) et \(f'(x) \prec 0\) si \(x \in [1; + \infty [\)
A.3.d Dressons le tableau de variation de la fonction f : 0,75pt
A.4 Démontrons que sur \(I = [1,9; 2]\), l’équation \(f(x) = 0\) a une solution unique \(\alpha \) : 0,75pt
F est continue et strictement croissante sur I (1)
\(f(1,9) \times f(2)\) \( = - 0,056 \prec 0\) (2)
Donc l’équation \(f(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha \) :
A.5 Traçons la droite \((\Delta )\) et la courbe (C) ( unité graphique : 2 cm)
B.1 Montrons que sur I, l’équation f(x) équivaut à l’équation g(x)=x
\(f(x) = 0\) équivaut à \( - x{e^{x - 1}} = \) \( - 2x - 1\) c’est à dire \(\ln (x{e^{x - 1}})\) \( = \ln (2x + 1)\) ainsi
\(\ln (x) + \) \(x - 1\) \( = \ln [x(2 + \frac{1}{x})]\)
D’où \(x = \) \(\ln (2 + \frac{1}{x})\) \( + 1\)
Ainsi : on a \(f(x) = 0\) et \(g(x) = x\) 0,5pt
B.2 Étudions le sens des variations de la fonction g sur I et montrons que pour tout x appartenant à I, g(x) appartient à I 1,5 pt
Pour tout \(x \in I\), \(g(x) = \) \( - \frac{1}{{x(2x + 1)}}\) \( \prec 0\), donc d est strictement décroissante sur I.
Pour tout \(x \in I\),
\(1,9 \le x\) \( \le 2 \Rightarrow \) \(g(1,9) \le \) \(g(x) \le \) \(g(2)\)
Car g est décroissante sur I. or \(g(2) = \) \(1,916.. \ge 1,9\) et \(g(1,9) = \) \(1,916..\) \( \le 2\) ainsi \(g(x) \in I\)
B.3 Démontrons que pour tout x de l’intervalle I, \(\left| {g(x)} \right| \le \frac{1}{9}\) 0,75 pt
\(\left| {g(x)} \right| = \) \(\frac{1}{{x(2x + 1)}}\)
Pour tout \(x \in I\), \(1,9 \le x\) \( \le 2\) et \(4,8 \le \) \(2x + 1\) \( \le 5\), en multipliant membre à membre les termes de d’inégalités, on obtient :
\(9,12 \le \) \(x(2x + 1)\) \( \le 10\), en inversant et en multipliant la dernière inégalité, on obtient :
\(\frac{1}{{10}} \le \) \(g'(x) \le \) \(\frac{1}{9}\)
Donc \(\left| {g'(x)} \right| \le \frac{1}{9}\) pout tout x appartient à I
B.4.a Démontrons que pour tout n entier naturel,
\(\left| {{U_{n + 1}} - \alpha } \right|\) \( \le \frac{1}{9}\left| {{U_n} - \alpha } \right|\) pour tout entier naturel n
B.4.b Déduisons-en par récurrence que :
\(\left| {{U_n} - \alpha } \right|\) \( \le {(\frac{1}{9})^n} \times \frac{1}{{10}}\)
Pour n=0, on a :
\(\left| {{U_0} - \alpha } \right|\) \( = \left| {2 - \alpha } \right|\) \( \le 0,1 = \) \((\frac{1}{9}) \times \frac{1}{{10}}\) donc la proposition est vraie au premier rang
Soit \(k \in \mathbb{N}\), Supposons que
\(\left| {{U_k} - \alpha } \right|\) \( \le {(\frac{1}{9})^k}\) \( \times \frac{1}{{10}}\)
D’après B.4, on a
\(\left| {{U_k} - \alpha } \right|\) \( \le \frac{1}{9}\left| {{U_k} - \alpha } \right|\) \( \le \frac{1}{9} \times {(\frac{1}{9})^k}\) \( \times \frac{1}{{10}}\) D’après l’hypothèse de récurrence. On a donc :
\(\left| {{U_{k + 1}} - \alpha } \right| \le \) \(\frac{1}{9} \times {(\frac{1}{9})^k} \times \frac{1}{{10}}\)
Conclusion :
\(\left| {{U_n} - \alpha } \right| \le \) \({(\frac{1}{9})^n} \times \frac{1}{{10}}\) pour tout entier naturel n.
B.4.c Déduisons-en que la suite converge et précisons sa limite 0,75 pt
On a
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {(\frac{1}{9})^n} \times \) \(\frac{1}{{10}} \approx 0\)
Donc (Un) est convergente et converge vers \(\alpha \)