Exercice I (série C uniquement) / 5 points
1.a) Montrons en utilisant l’identité de Bézout que a et b sont premiers entre eux
Déterminons deux entiers u et v tels que $au +$ $bv =$ $1$
On peut écrire
$5a +$ $( - 14)b$ $=$ $5(14p$ $+ 3) +$ $( - 14)$ $(5p + 1)$ $= 70p$ $+ 15$ $- 70p$ $- 14$ $= 1$
A et b sont donc premiers entre eux 1pt
1.b) Déduisons-en que 87 et 31 sont premiers entre eux
87=14x6+3 et 31=5x6+1
87 et 31 sont ainsi premiers entre eux d’après la question 1.a 0,75pt
1.c) Cherchons tous les couples $({u_o};{v_o})$ d’entiers tels que $87{u_o}$ $+ 31{v_o}$ $= 2$
Sachant que 5x87+31x(-14)=1, on a 87x10+31(-28)=2x1=2
Prendre ${u_o} = 10$ et ${v_o} = - 28$
2. Cherchons tous les couples (x ;y) d’entiers tels que (E) $87x +$ $31y = 2$
Soit (x ;y) un couple d’entiers solution de (E), On a $87x$ $+ 31y$ $= 2$
On sait aussi que 87x10+31x(-28)=2x1=2, En multipliant les membres de la deuxième égalité par (-1), puis en additionnant les membres de l’égalité obtenue et de ceux de (E), on obtient 87(x-10)+31(y+28)=0. D’où 87(x-10)=-31(y+28).
87 divise -31(y+28) et est premier avec 31. D’après le théorème de GAUSS, 87 divise y+28 ; y=87k-28 et donc x=-31k+10 où k est entier. On peut vérifier qu’inversement, pour tout entier k, le couple (-31k+10 ; 87k-28) est solution de (E). Les solutions de (E) sont donc tous les couples couple (-31k+10 ; 87k-28) où k est un entier arbitraire. 0,75pts
3. Déterminons les points de (D) vérifiant les conditions du texte
Oit (x ;y) un couple de coordonnées d’un point quelconque de (D). (x ;y) est une solution de (E). Il existe ainsi un entier k tel que $x =$ $- 31k + 10$ et $y =$ $87k - 28$
De $0 \le x$ $\le 100$, on a $0 \le$ $- 31x + 10$ $\le 100$ et donc $- \frac{{90}}{{31}} \le$ $x \le \frac{{10}}{{31}}$
$k \in \{ - 1;$ $- 1;0\}$

Les points de (D) vérifient les solutions du texte ont pour coordonnées (10 ;28), (41 ;115), (72 ;202) 1,25 pt

Exercice I (Série E uniquement) / 5points
1.a ) Montrons que $N =$ $4n - 10$.
Il y a 5-n réponses non correctes ou non données
$N = 2 \times n$ $+ ( - 2) \times$ $(5 - n) =$ $4n - 10$ 1 pt
1.b) Déduisons –en l’ensemble des notes possibles qu’un candidat peut avoir à ce test
N peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ou 5 et donc N peut quant à lui prendre les valeurs correspondantes : -10 ; -6 ; -2 ; 2 ; 6 ou 10 1 pt
2.a ) Déterminons les notes possibles de candidat Eya.
On peut avoir les éventualités suivantes pour les trois derniers questions :
- Trois réponses justes exactes ;
- Deux réponses justes exactes ;
- Une réponse juste ;
- Aucune réponse juste
Soit N=10 ou N=6 ou N=2 ou N=-2 1pt
2.b) Calculons les probabilités de A et B
i) $p(A)$ $= p(N = 6)$ $+ p(N$ $= 10)$ $=$ $C_3^2{(\frac{1}{3})^2}$ $(\frac{2}{3}) +$ $C_3^3{(\frac{1}{3})^3}$ $= \frac{7}{{27}}$ 1pt
ii) $p(B) =$ $C_5^4{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$ $\left( {\frac{1}{2}} \right) +$ $C_5^5{\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}$ $= \frac{3}{{16}}$ 1pt

Exercice II / 5 points
1. Calculons les coordonnées de $\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM}$
$\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM}$ $= [(x - 2)\overrightarrow i$ $+ y\overrightarrow j +$ $(z - 1)\overrightarrow k ]$ $\wedge [(x - 3)\overrightarrow i$ $+ (y + 2)\overrightarrow j$ $+ z\overrightarrow k ]$
$\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM} =$ $[(y - 2z + 2)\overrightarrow i +$ $( - x - z$ $+ 3)\overrightarrow j +$ $(2x + y$ $- 4)\overrightarrow k ]$
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM}$ sont
$[(y - 2z$ $+ 2);$ $( - x -$ $z + 3);$ $(2x + y$ $- 4)]$ dans la base $(\overrightarrow i ;\overrightarrow j ;\overrightarrow k )$ 1 pt
2. Résolvons le système
$\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\ - x - y - z = - 11\\2x + y - z = 8\end{array} \right.$
Ce système a le même triplet solution que les systèmes
$\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\2y - z = 7\\3y - 5z = 0\end{array} \right.$ et
$\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\2y - z = 7\\ - 7z = - 21\end{array} \right.$
Ce qui donne x=3 ; y=5 et z=3 1 pt
3. Montrons qu’il existe un unique point N dont on déterminera les coordonnes et qui vérifie $\overrightarrow {AN} \wedge$ $\overrightarrow {BN} =$ $\overrightarrow {CN}$
Les coordonnées (x ;y ;z) du possible point N sont solution du système
$\left\{ \begin{array}{l}y - 2z + 2 = x - 2\\ - x - z + 3 = y - 8\\2x + y - 4 = z + 4\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\ - x - y - z = - 11\\2x + y - z = 8\end{array} \right.$
qui est exactement le système proposé à la question 2. Or ce système admet pour unique triplet solution, le triplet (3,5,3)
N existe , est unique et a pour coordonnées (3,5,2) dans le repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j ;\overrightarrow k )$ 1pt
4.a) Montrons que le volume v du tétraèdre ABCN est $\frac{1}{2}C{N^2}$
On sait que $\overrightarrow {AN} \wedge \overrightarrow {BN}$ $= \overrightarrow {CN}$. Le vecteur $\overrightarrow {CN}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow {CN}$ et $\overrightarrow {NB}$
En considérant le plan (ANB), (CN) est orthogonal au plan (ANB) et par suite, CN est la distance du point C au plan (ANB)
Par conséquent,
$v = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times$ $\left\| {\overrightarrow {NA} \wedge \overrightarrow {NB} } \right\| \times$ $CN = \frac{1}{6}C{N^2}$  1pt
En effet,
$v = \frac{1}{6} \times$ $\left\| {\overrightarrow {NA} \wedge \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {CN} } \right\|$ $= \frac{1}{6}$ $\left| {\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {NC} } \right|$ $= \frac{1}{6}C{N^2}$.
4.b) Calcule de l’aire ABC
$Aire(ABC)$ $= \frac{1}{2}$ $\left\| {\overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} } \right\|$ $= \frac{1}{2}$ $\left| {18\overrightarrow i + 5\overrightarrow j + 8\overrightarrow k } \right|$ $= \frac{1}{2}\sqrt {413}$ 0,5pt
4.c) Déduisons –en la distance du point N au plan (ABC)
En notant d cette distance, on a
$v = \frac{1}{3}$ $Aire(ABC) \times d$ $\Rightarrow d =$ $\frac{{3v}}{{Aire(ABC)}}$ $= \frac{{\sqrt {413} }}{7}$ 0,5pt

Problème /10 points
Partie A :
1.a Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation (E) ${z^2} -$ $3z + 4$ $= 0$
Le discriminant de cette équation est $\Delta = (i\sqrt 7 )$ et ses solutions
$\frac{{3 - i\sqrt 7 }}{2}$ et $\frac{{3 + i\sqrt 7 }}{2}$ 0,75pt
1.b Déterminons les module de chaque racine de cette équation
$\left| {\frac{{3 - i\sqrt 7 }}{2}} \right|$ $=$ $\left| {\frac{{3 + i\sqrt 7 }}{2}} \right|$ $= 2$ 0,5pt
2.a ) Démontrons que z est une racine de E
Comme 0=bar{(A,4) ; (B,-3) ; (C,1)}, on a
$\frac{{4 \times 1 - 3 \times z + 1 \times {z^2}}}{{4 - 3 + 1}}$ $= 0$
Donc ${4 - 3z}$ ${ + {z^2} = 0}$, par conséquent, z est solution de (E) 0,5pt
2.b) Déduisons les coordonnées de B et de C
Puisque z est solution de (E) et ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) \succ 0$, $z =$ $\frac{{3 + i\sqrt 7 }}{2}$, alors ${z^2} =$ $\frac{{1 + 3i\sqrt 7 }}{2}$
Donc B a pour coordonnées $\left( {\frac{3}{2},\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)$ et C a pour coordonnées $\left( {\frac{1}{2},\frac{{3\sqrt 7 }}{2}} \right)$ 0,5 pt
3.a) Précisons suivant les valeurs de k l’ensemble $\left( \Gamma \right)$ des points M du plan tels que $4M{A^2} -$ $3M{B^2} +$ $M{C^2} = k$
Soit M un point du plan
$M \in \left( \Gamma \right)$ $\Leftrightarrow 4M{A^2}$ $- 3M{B^2}$ $+ M{C^2}$ $= k$
$\Leftrightarrow 2O{M^2}$ $+ 4O{A^2}$ $- 3O{B^2}$ $+ O{C^2}$ $= k$
OA=1, OB=2, OC=4 et $4O{A^2} -$ $3O{B^2} +$ $O{C^2} = 8$
Donc $M \in \left( \Gamma \right)$ $\Leftrightarrow$ $O{M^2} =$ $\frac{{k - 8}}{2}$
• Si $k \prec 8$ alors $\left( \Gamma \right) = \phi$
• Si k=8, alors $\left( \Gamma \right) = \{ 0\}$
• Si $k \succ 8$ alors $\left( \Gamma \right)$ est le cercle de centre O et de rayon $\sqrt {\frac{{k - 8}}{2}}$ 1pt
3.b) k=89, Donnons alors une equation catesiene de $\left( \Gamma \right)$, puis tracons $\left( \Gamma \right)$ :
Puisque $89 \succ 8$, $\left( \Gamma \right)$ est cerce de centre O et de rayon $\frac{9}{{\sqrt 2 }}$.
Une équation cartésienne de $\left( \Gamma \right)$ est donc ${x^2} + {y^2}$ $= \frac{{81}}{2}$ 0,75pt

Partie B
1.a) Dressons le tableau de variation de g :
g est définie sur $\mathbb{R}$ :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x)$ $= + \infty$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }$ $g(x) = 1$
g est derivable sur $\mathbb{R}$ et pour $x \in \mathbb{R}$,
$g'(x)$ $= 2{e^{ - 2x}}$ $(2x - 2)$
$g'(x)$ s’annule en 1, est négative sur $\left] { - \infty ;1} \right[$ et positive sur $\left] {1; + \infty } \right[$
$g(1) =$ $1 - {e^{ - 2}}$
Le tableau de variation est donc le suivant
1.b) Déduisons le signe de g(x) suivant les valeurs de x
$g(1) =$ $1 - {e^{ - 2}}$ est le minimum de g sur $\mathbb{R}$, par suite, pour tout réel x, $g(x) \ge$ $g(1) \succ 0$ 0,25pt
2.a) Calculons les limites de f en $- \infty$ et $+ \infty$ en puis la dérivée de f
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }$ $f(x) = - \infty$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }$ $f(x) = + \infty$
Pour tout réel x, $f'(x) =$ $g(x)$ 0,75 pt
2.b) Dressons le tableau de variation de f
Puis que $f'(x) =$ $g(x)$ pour tout x, f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
Le tableau de variation de f est donc le suivant 0,5pt
3.a Calcule de $f(\ln 2)$
$f(\ln 2)$ $= 0$ 0,25pt
3.b ) Déduisons que (D) d’équation
$y = x$ $- \frac{5}{4}\ln 2$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }$ $(f(x) -$ $(x - \frac{5}{4}\ln 2)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x{e^{ - 2x}}$ $= - \infty$ 0,25 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x)$ $- (x - \frac{5}{4}\ln 2)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x{e^{ - 2x}}$ $= 0$ 0,25 pt
Donc la droite (D) est une asymptote oblique à la courbe (C_f) en ${ + \infty }$
• Etude des positions relations de la courbe (Cf) par rapport à la droite (D)
Soit le réel x, $f(x) - (x$ $- \frac{5}{4}\ln 2)$= $x{e^{ - 2x}}$, l’expression $x{e^{ - 2x}}$ a le signe de x
Donc la courbe (Cf) coupe la droite (D) au point d’abscisses 0 ; est en dessous de (D) dans le demi-plan ($x \prec 0$ ) et est au-dessus de (D) dans le demi-plan ($x \succ 0$) 0,5 pt
• Traçons la courbe (D) et (C_f) 075 pt4.a) Déterminons la forme générale des solutions de (E’)
L’équation caractéristique associée à (E’) est : ${r^2} +$ $4r + 4$ $= 0$ ; elle a pour solution double -2. La forme générale des solutions de (E’) est :
$x \mapsto$ $(Ax + B)$ ${e^{ - x}}$ à A et B sont des réels indépendants de x 0,5pt
4.b) Déterminons la solution de (E’) dont la courbe admet une tangente en O parallèle à la droite d’équation $y =$ $x + 1$
Cette solution est de la forme $x \mapsto$ $(Ax + B)$ ${e^{ - x}}$ ; sa dérivée est :
$x \mapsto$ $A{e^{ - 2x}} -$ $2(Ax +$ $B){e^{ - x}}$ $= ( - 2Ax +$ $A - 2B)$ ${e^{ - 2x}}$
Comme sa courbe passe par O, on a B=0 et puisque la tangente à sa courbe en O est parallèle à la droite d’équation $y =$ $x + 1$, A-2B=1 et ainsi A=1
La solution de (E’) recherchée est donc $y =$ $x{e^{ - 2x}}$ 0,5pt
4.c ) Démontrons que f est une solution de l’équation différentielle
$y'' +$ $4y' +$ $4y =$ $4x -$ $5\ln 2 + 4$
Soit un x réel on montre que $f'' +$ $4f' +$ $4f =$ $4x -$ $5\ln 2 + 4$ 0,5pt
5.a) En utilisant une intégration par partie, calculons, en cm², l’aire de (D_λ) en fonction de λ
L’aire (D_λ) est $( - 2\lambda -$ $1){e^{ - 2\lambda }}$ $+ 1)c{m^2}$
5.b) Calculons la limite de cette aire lorsque $\lambda \to + \infty$
$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } ( - 2\lambda$ $- 1){e^{ - 2\lambda }}$ $+ 1) = 1c{m^2}$ 0,5 pt