Partie A : 6 points
1. Calculons p(18)
$P(18) =$ $324 - 324$ $= 0$ 1pt
2. Déduisons dans $\mathbb{R}$ les solutions de l’équation $P(x) = 0$
$P(x) =$ $(x - 18)$ $(x + 15)$ soit :
$\left\{ \begin{array}{l}x = 18\\x = - 15\end{array} \right.$ 1 pt
3.a) Montrons que x vérifie l’équation : ${x^2} -$ $3x -$ $270 = 0$ 2 pts
X désigne le nombre d’élèves initialement retenus :
• Montant à payer par élève si tous les élèves voyagent : $\frac{{54000}}{x}$
• Montant à payer par élève qui voyage après le désistement de 3 élèves : $\frac{{54000}}{{x - 3}}$
Ainsi $\frac{{54000}}{{x - 3}} =$ $\frac{{54000}}{x} +$ $6000$ après simplification, on a :
${x^2} - 3x$ $- 270 = 0$
3.b) Déduisons le nombre d’élèves initialement retenus et le prix à payer par chacun d’entre eux après le désistement de 3 élèves 3pts
- D’après la question 2, on a x=18 car $x \succ 0$ et $\frac{{54000}}{{18 - 3}}$ $= 3600$
Donc le prix à payer par chacun d’entre eux après désistement de 3 élèves est 3600 F
Le nombre d’élèves initial est de 18 élèves

Partie B : 6 points
1. Complétons le tableau 3 pts

2. Calcule de la moyenne de cette série statistique 1pt
Moyenne notée moy vaut :
$moy = \frac{{324}}{{60}}$ $= 5,4$
3. Déterminons la classe mode et le mode cette série 1pt
• La classe modale de cette série est la classe $\left[ {0;3} \right[$
• Le mode de cette série est : $\frac{{0 + 3}}{2} = 1,5$
4. Construisons l’histogramme représentant cette série : 1 pt
Partie C : 8 points
1. Déterminons les images des réels -2 ; 1 ; 1 et 4 par f 2pts
$f( - 2)$ $= 5$                $f( - 1)$ $= 0$
$f( 1)$ $= -4$                   $f( 4)$ $= 5$
2. Dressons le tableau de variation de f 1pt
II.1 Montrons que a=-2 et b=-3 1,5 pt
On a : $\left\{ \begin{array}{l}f( - 2) = 5\\f(1) = - 4\end{array} \right.$ d’où le système (S) :
$\left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 1\\a + b = - 5\end{array} \right.$
Le système a pour solution : $a = - 2$ et $b = - 3$
II.2 Déterminons une équation de la tangente (T) à la courbe au point d’abscisse 3 1pt
De le formule, l’équation de la tangente est la suivante
$y = f'(3)$ $(x - 3) +$ $f(3)$ avec $f'(x) =$ $2x - 2$ soit :
$y = 4x$ $- 12$
III) Représentons le courbe (C) rose et celle de la fonction $g:x \mapsto$ $- f(x)$ en bleu