Exercice I / 3 points
1.a) Donnons la matrice M de f dans la base B. 0,5 pt
\(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - \frac{1}{2}}\\{ - 2}&1\end{array}} \right)\)
1.b) Expression de \(f(\overrightarrow u )\) 0,5 pt
Posons \(f(\overrightarrow u )\) \( = x'\overrightarrow i \) \( + y'\overrightarrow j \)
On a : \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - \frac{1}{2}}\\{ - 2}&1\end{array}} \right)\) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right)\)
D’où \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = x - \frac{1}{2}y}\\{y' = - 2x + y}\end{array}} \right.\)
2. Déterminons Kerf et Imf, respectivement le noyau et l’image de f 1 pt
• Pour Kerf
Soit \(\overrightarrow u = x\overrightarrow i \) \( + y\overrightarrow j \) un vecteur du plan
\(\overrightarrow u \in Kerf\) \( \Leftrightarrow \) \(f(\overrightarrow u ) = \overrightarrow 0 \)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - \frac{1}{2}}\\{ - 2}&1\end{array}} \right)\) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = \) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right) \Rightarrow \) \( - 2x + y\) \( = 0\)
\(Kerf = \) \(\{ \overrightarrow u (x;y);\) \( - 2x + y\) \( = 0\} \)
• Pour Imf
Soit \(\overrightarrow {u'} = \) \(x'\overrightarrow i + \) \(y'\overrightarrow j \) un vecteur du plan.
\(\overrightarrow {u'} \in {\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) equivaut à \(\overrightarrow {u'} = \) \(f(\overrightarrow u )\) où \(\overrightarrow u = \) \(x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \)
\(\overrightarrow {u'} = f(\overrightarrow u )\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x' = 2x + y\\y' = - 2x + y\end{array} \right.\)
\({\mathop{\rm Im}\nolimits} f = \) \(\{ \overrightarrow u (x';y');\) \(2x' + y'\) \( = 0\} \)
3. Examinons si oui ou non f est un endomorphisme 0,5 pt
\(Kerf \ne \) \(\left\{ {\overrightarrow 0 } \right\}\) ou \({\mathop{\rm Im}\nolimits} f \ne \varepsilon \) d’ouu f n’est pas un endomorphisme.
4.a) montrons que \(B' = \) \((\overrightarrow {{e_1}} ;\overrightarrow {{e_2}} )\) est une base de \(\varepsilon \). 0,5 pt
\(Det(\overrightarrow {{e_1}} ;\overrightarrow {{e_2}} )\) \( = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&{ - 2}\end{array}} \right|\) \( = - 4\). Comme \(Det(\overrightarrow {{e_1}} ;\overrightarrow {{e_2}} )\) \( \ne 0\), \((\overrightarrow {{e_1}} ;\overrightarrow {{e_2}} )\) est un système libre de deux vecteurs de \(\varepsilon \) de dimension 2. Donc B est une base de \(\varepsilon \)
4.b) Donnons la matrice de Mde f dans la base B’ 0,5 pt
\(\overrightarrow {{e_1}} = \) \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \) et -2x1+2=0 d’où \(\overrightarrow {{e_1}} \in Kerf\), donc \(f(\overrightarrow {{e_1}} ) = \overrightarrow 0 \), par ailleurs \(f(\overrightarrow {{e_2}} ) = \) \(2\overrightarrow {{e_2}} \). Donc :
\(M' = \) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&2\end{array}} \right)\).

Exercice II / 3 points
1.a) Démontrons que : \(\Sigma = \) \( - 2\cos \alpha \) 0,75 pt
En effet \(\Sigma = \) \( - \cos \alpha \) \( - \sin (\frac{\pi }{2} - \alpha )\) \( = - 2\cos \alpha \)
1.b) Déterminons les valeurs de \(\alpha \) pour lesquelles \(\Sigma = \prec - 1\) 0,75 pt
\(\Sigma = \prec - 1\) \( \Rightarrow - 2\) \(\cos \alpha \prec \) \( - 1 \Rightarrow \) \(\cos \alpha \succ \) \(\frac{1}{2}\)
Donc les valeurs de \(\alpha \) sont celles de l’intervalle \(\left] {0;\frac{\pi }{3}} \right]\)
2. Déterminons que le nombre n d’enfants dans la maison, ainsi que la somme partagée 1,5 pt
D’une part, on a : \(\frac{S}{n} = 400\) et d’autres part \(\frac{S}{{n + 3}} = 250\), ainsi, après résolution par substitution, nous avons :
\(\left( \begin{array}{l}n = 5\\S = 2000\end{array} \right.\)

Exercice III / 3 points
1. Calcule de la moyenne de cette série statistique 0,5 pt
\(m = \) \(\frac{{320,5}}{{34}}\) \( = 9,42\)
2. Calcule de l’écart type de cette série
La variance est \(V = \) \(\left( {\frac{{3464,5}}{{34}}} \right)\) \( - {\left( {\frac{{320,5}}{{34}}} \right)^2}\) \( = 13,04\)
Alors, l’écart type est : \(\sigma = \sqrt V \) \( = 3,61\)
3. Construisons l’histogramme de cette série :

Problème
Partie A : / 6 points
1.a) Déterminons l’ensemble de définition Df de f 0,5pt
\(Df = \mathbb{R}\) \( - \left\{ { - \frac{7}{2}} \right\}\)
1.b) Calcule de image 1 pt
\(f( - 8)\) \( = - 3\), \(f( - 5)\) \( = 1\), \(f( - 4)\) \( = 5\) et \(f(1)\) \( = 5\)
1.c) Calcule des limites de f aux bornes du domaine de définition 0,5 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) \( = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) \( = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{3.5}^ - }} f(x)\) \( = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{3.5}^9}} f(x)\) \( = - \infty \)
1.d) Expression de la dérivée de f 0,5 pt
\(f'(x) = \) \(\frac{{4{x^2} + 28x + 58}}{{{{(2x + 7)}^2}}}\)
1.e) Tableau de variation de f 0,5 pt
Le discriminant de \({4{x^2} + 28x}\) \({ + 58}\) est négatif, alors : \({4{x^2} + }\) \({28x + }\) \({58 \succ 0}\) quelque soit x
2.a) Déterminons les coordonnées des points d’intersections de Cf avec l’axe des abscisses 0,5 pt
Il est fuste question de résoudre l’équation \(f(x) = 0\) dont les solutions sons : \({x_1} = - 5,58\) et \({x_2} = - 2,41\). Les points d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des abscisses sont : \(( - 5,58;0)\) et \(( - 2,41;0)\).
2.b) Déterminons les trois réels a, b et c 0,75 pt
Par identification, on \(\left\{ \begin{array}{l}2a - 2 = 0\\7a + 2b = 16\\7b + c = 27\end{array} \right.\) soit \(\begin{array}{l}a = 1\\b = \frac{9}{2}\\c = - \frac{9}{2}\end{array}\).
2.c) Montrons que le points I est le centre de symétrie de la courbe Cf 0,5pt
\(f( - 7 - x)\) \( + f(x)\) \( = 2 \times 1\)
Avec \(2 \times (\frac{7}{2})\) \( - x \in Df\), on conclut que I est centre de symétrie de Cf.
2.d) Construction de la courbe Cf 0,75 pt
3. Courbe de Cg dans le même graphe 0,5 pt

Partie B / 5 points
1. Réalisons la figure 0,5pt
2.a) Déterminons une mesure en radian de \((\widehat {\overrightarrow {D{M_1}} ,\overrightarrow {D{M_2}} })\) 0,5pt
\((\widehat {\overrightarrow {D{M_1}} ,\overrightarrow {D{M_2}} })\) \( = (\widehat {\overrightarrow {D{M_1}} ,\overrightarrow {BM} })\) \( + (\widehat {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {D{M_2}} })\) \( = - \frac{\pi }{2} - \) \(\frac{\pi }{2} = - \pi \)
2.b) Montrons que le point D est le milieu du segment \(\left[ {{M_1}{M_2}} \right]\)0,5pt
D’après la réponse 2.a), D, M1 et M2 sont alignés et \(D{M_1} = \) \(D{M_2}\), donc D est le milieu du segment \(\left[ {{M_1}{M_2}} \right]\)
3.a) Construction de l’image de C par \(R'^\circ R\) 0,5 pt
Voir figure précédente
On note C1, l’image de C par la rotation R
3.b) Montrons par conséquence que \(\overrightarrow {N{N_2}} = \) \(2\overrightarrow {BC} \) 0,5 pt
Comme \(\frac{\pi }{2} + \) \(\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\), alors \(R'^\circ R\) est une translation. Puisque \(R'^\circ R(N)\) \( = {N_2}\) et \(R'^\circ R(C)\) \( = {C_2}\), il vient que \(\overrightarrow {N{N_2}} \) \( = \overrightarrow {C{C_2}} \). Par ailleurs \(C{C_2}\) \( = 2a\) où a est le coté du carrée ABCD. En outre B, C et C2 sont alignés. Donc \(\overrightarrow {N{N_2}} = \) \(2\overrightarrow {BC} \).
4.a) Calcule de r 0,25pt
\(r = AJ\) \( = 3\)
4.b) Déterminons une équation cartésienne de C(J,r) 0,25 pt
Soit M(x,y) un point du plan euclidien.
\(M(x,y) \in \) \(C(J,r) \Leftrightarrow \) \({(x + 3)^2}\) \( + {(y + 2)^2}\) \( = 9\)
4.c) Déterminons les coordonnées des points B, C et D 0,75 pts
Par une lecture graphique, on a : B(-3 ;1), C(-6 ;-2) et D(-3 ;-5)
4.d) Déterminons une équation de la tangente (T) en A à C(J, r) 0,25 pt
(T) \(x = 0\)
4.e.i) Donnons une équation de (C’) en déterminant son centre J’ et son rayon r’ 0,5 pt
J est le milieu de [AL], d’où J’(2 ;-2) et r’=AJ’=2
Une équation cartésienne de (C’) est : \({(x - 2)^2}\) \( + {(y + 2)^2}\) \( = 2\)
4.e.ii) Vérifions que (T) est tangente à C’ en A 0,25pt
Comme la distance de J’ à (T) est égale à 2, alors (T) est tangente à C’ en A
4.e.iii) Montrons que les points J, A et J’ sont alignés 0,25 pt
Les droites (AJ) et (AJ’) sont toutes perpendiculaires à la tangente (T). Donc les droites (AJ) et (AJ’) sont parallèles. Comme elles ont le point A en commun, elles sont confondues et par conséquent, J, A et J’ sont alignés.