L’épreuve est constituée de 3 exercices et d’un problème que Chaque candidat traitera obligatoirement.
Exercice 1 / (3 points)
Dans l'espace orienté et rapporté a un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )\), A, B, C et D sont 4 points tels que A, B et C soient non alignés. On pose \(\overrightarrow u = \) \(\overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} \)
1. Déterminer l'ensemble (\(\Gamma \)) des points M de L’espace tels que \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = O\). 0,75pt
2. On donne pour toute la suite de l'exercice ; A(1 ; 2 ; 1), B(2 ; 1 ; 1), C(0; 1 ;-1) et D(2 ; 4 : 1).
a. Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 0,75pt
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). 0,75pt
c. Déterminer l'expression analytique de la réflexion par rapport au plan (ABC). 0,75pt

Exercice 2 / 4 points.
1. Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres Complexes. l'équation : \({z^2} - (1 - 2i)z\) \( + 1 + 5i = 0\). 1pt
2. On suppose le plan Complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\), A et B sont les points d’affixes respectives \({z_A} = 2 - 3i\) et \({z_B} = - 1 + i\).
a. Soient \((\zeta )\) le cercle de centre A et de rayon 7 et \((\zeta ')\) le cercle de centre B et de rayon 1.
i. Montrer que tout point du cercle \((\zeta ')\) est intérieur au cercle \((\zeta )\). 0,5pt
ii. Soit \((\zeta '')\) un cercle de centre \(\Omega \), extérieurement tangent à \((\zeta ')\) et intérieurement tangent à \((\zeta ')\). Justifier que \(\Omega A + \Omega B\) \( = 8\). 0,5pt
b. O’ désigne le milieu de [AB] : on pose \(\overrightarrow i = \frac{{\overrightarrow {BA} }}{{AB}}\) et on désigne par \(\overrightarrow j \) le vecteur unitaire tel que \((O',\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) soit un repère orthonormé direct auquel le plan est maintenant rapporté. On pose \(\overrightarrow {O'\Omega } = \) \(x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \) où \(x \in \left[ { - 4,4} \right]\) et on désigne par (D), la droite d'équation : \(x = \frac{{32}}{5}\)
i) Justifier que \(\Omega A = \) \(\sqrt {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} + {y^2}} \), \(\Omega B = \) \(\sqrt {{{\left( {x + \frac{5}{2}} \right)}^2} + {y^2}} \) . 0,5pt
ii) Montrer que : \(\Omega A + \Omega B\) \( = 8 \Rightarrow \Omega A\) \( = - \frac{5}{8}x + 4\). 0,75pt
iii) En déduire que si \(\Omega A + \Omega B\) \( = 8\) alors \(\frac{{\Omega A}}{{d(\Omega ;(D))}} = \frac{5}{8}\) et donner la nature de la conique à laquelle \(\Omega \) appartient. 0,75pt

Exercice 3 / 3 points
Une urne contient 7 boules noires et 7 boules jaunes indiscernables au toucher. On tire au hasard et successivement avec remise, n boules de cette urne avec \(n \succ 1\).
l. Calculer la probabilité d’obtenir des boules de même couleur. 0,75pt
2. Justifier que la probabilité p d’obtenir exactement une boule noire est : \(p = \frac{n}{{{2^n}}}\) 0,75pt
3. On désigne par \(({u_n})\) la suite définie par \({u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\) avec \(n \succ 1\). Soit n un entier strictement supérieur à 1 :
a. Calculer \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) et en déduire que la suite \({({u_n})}\) est décroissante. 0,75pt
b. Montrer que la suite \({({u_n})}\) converge vers 0 0,75pt

Problème (10 points).
On considère la fonction g définie dans l'intervalle \(\left] {0; + \infty } \right[\) par \(g(x) = {x^2}\) \( + \ln x\).

Partie A (3 points).
(\({E_0}\)) et (\(E\)) sont les équations différentielles définies par : (E0) : v \(v(x) + \) \(xv'(x) = 0\)
(\(E\)): \(v(x) + \) \(xv'(x) = \) \(3{x^2} + \) \(\ln (x) + 1\) où \(v\) est une fonction définie et dérivable dans l'intervalle \(\left] {0; + \infty } \right[\) et \(v'\) sa dérivée.
1. Vérifier que g est une solution de (\(E\)) et justifier que la fonction u définie dans \(\left] {0; + \infty } \right[\) par \(u(x) = \frac{1}{x}\) est une solution de (\({E_0}\)) . 1pt
2. Soit \(\omega \) une autre solution de (\({E_0}\)) et k la fonction définie dans l'intervalle \(\left] {0; + \infty } \right[\) par \(k = \frac{{\omega (x)}}{{u(x)}}\).
a. Montrer que k est une fonction constante et en déduire toutes les solutions de (\({E_0}\)). 1pt
3. Soit h une fonction définie et dérivable dans \(\left] {0; + \infty } \right[\)
a. Montrer que h est solution de (\(E\)) si et seulement si \(h - g\)est solution de (\({E_0}\)). 0,5pt
b. Déduire la forme générale des solutions de (\(E\)). 0,5pt

Partie B /1,75 point.
1. Étudier les variations de la fonction g. 1pt
2. En déduire que :
a. L'équation \(g(x) = 0\) admet sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) une unique solution \(\alpha \) et justifier que \({\alpha _0} = 0,65\) est une valeur approchée de \(\alpha \) à \({10^{ - 2}}\) près par défaut. 0,5pt
b. \(g(x) \succ 0\) \( \Leftrightarrow x = \alpha \). 0,25pt

Partie C /5,25 points.
Pour toute la suite, f est la fonction définie dans l’intervalle \(\left] {0; + \infty } \right[\) par \(f(x) = \) \(\sqrt {{x^2} + {{\ln }^2}(x)} \) et on désigne par \(({\xi _f})\), sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\). La fonction g reste la même.
1. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 0,5pt
2. Déterminer \(f'\) et vérifier que pour tout réel \(x \succ 0\), \(f'(x) = \frac{{g(x)}}{{xf(x)}}\). ’ 0,5pt
3. Dresser le tableau de variation de f. 0,5pt
4. a. Montrer que la droite d'équation \(y = x\) est asymptote oblique à \(({\xi _f})\) en \( + \infty \). 0,5pt
b. Tracer \(({\xi _f})\) avec soin. (unités d'axe : 1,5 cm ; Prendre \(\alpha = 0,6\)). 1pt
5. Soit M(x ; y) un point de la courbe représentative de la fonction : \(x \mapsto \ln (x)\).
a. Justifier que \(OM = \)\(f(x)\) 0,25pt
b. En déduire l'abscisse du point M en lequel la distance OM est minimale. 0,25pt
6. Soit x un réel strictement positif,
a. Justifier que \(x \le f(x)\). 0,25pt
b. Montrer que \(\sqrt {{x^2} + {{\ln }^2}(x)} \) \( - x \le \frac{{{{\ln }^2}(x)}}{{2x}}\). 0,5pt
7. a. Déduire que : \(\frac{3}{2} \le \) \(\int_1^2 {f(} x)dx\) \( \le \frac{1}{6}{\ln ^3}(2)\) \( + \frac{3}{2}\) 0,5pt
b. En déduire en unité d'aire, une valeur approchée a \({10^{ - 1}}\) prés par défaut de l'aire de la portion du plan constituée des points M(x ; y) tels que : \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\0 \le y \le f(x)\end{array} \right.\) 0,5 pt