Exercice I Mouvements dans un champ de forces
Partie A Mouvement d’un solide sur une gouttière
1. Le contact entre le solide et la gouttière se faisant sans frottement, nous pouvons y appliquer le principe d’inertie qui stipule que : Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie d’un système isolé ou pseudo-isolé est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. 0,25 x 3 = 0,75 pt
2. Déterminons l’intensité de la force F, l’action de la gouttière sur le solide sur le mobile
Dans le référentiel de laboratoire supposé galiléen, nous avons : 1 pt
\(\overrightarrow F + \overrightarrow P \) \( = m\overrightarrow {{a_G}} \)
• Suivant le vecteur unitaire normale \(\overrightarrow n \), nous avons :
\(F - P\cos \alpha \) \( = m{a_n}\) avec \(P = mg\) et \({a_n} = \frac{{v_C^2}}{r}\), soit :
\(F = m(g\cos \alpha \) \( + \frac{{v_C^2}}{r})\)
AN : \(F = 17,2N\)
3. Equation cartésienne de la trajectoire du mobile (S) à partir de C. 0,25 x 3 = 0,75 pt
Apres le point C, (S) n’est plus soumis qu’à l’action de son poids, Dans le référentiel de laboratoire supposé galiléen, appliquons le TCI 1,25 pt
\(\sum {\overrightarrow F ext} \) \( = m\overrightarrow {{a_G}} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g = \) \(m\overrightarrow {{a_G}} \) soit \(\overrightarrow g = \overrightarrow {{a_G}} \).
Dans le référentiel \((C;\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\), on a :
\(\overrightarrow {{a_G}} \left( \begin{array}{l}0\\ - g\end{array} \right)\),
\(\overrightarrow {{v_C}} \left( \begin{array}{l}{v_C}\cos \alpha \\{v_C}\sin \alpha \end{array} \right)\)
\(C\left( \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right)\)
\(\overrightarrow {{v_G}} \left( \begin{array}{l}{v_C}\cos \theta \\ - gt + {v_C}\sin \theta \end{array} \right)\)
\(\overrightarrow {CG} \left( \begin{array}{l}{v_C}\cos \theta \\ - \frac{1}{2}g{t^2} + ({v_C}\sin \theta )t\end{array} \right)\).
Soit :
\(z = \) \(\frac{{ - g}}{{2{{\cos }^2}(\theta )v_C^2}}{x^2}\) \( + x\tan \theta \)

Partie B : Particule chargée dans un champ électrique et magnétique
1. Calcule du module E du champ électrique
\(E = \frac{U}{d}\) soit \(E = 4 \times {10^4}\) V/m
2.1 Caractéristiques de la force électrostatique \(\overrightarrow F \) subie par un électron 0,25 x 3 =0,75 pt
• Direction : orthogonale aux plaques P et Q
• Sens : De P vers Q
• Intensité : \(F = qe\) AN : \(F = 6,4 \times {10^{ - 15}}\) N
2.2 Vitesse \(v\) d’un électron à l’arrivée sur la plaque Q 0,75 pt
Entre P et Q, appliquons le Théorème de l’énergie cinétique (TEC) à l’électron soumis à la force électrique, son poids étant négligeable.
\(\Delta {E_C} = \) \(\sum {W(\overrightarrow F ext)} \) soit
\(\frac{1}{2}m{v^2} - 0 = \) \( - e\overrightarrow E .\overrightarrow {PQ} \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{2}m{v^2} = \) \( - e\left( {{V_P} - {V_Q}} \right)\)
\({V_Q} - {V_P} = U\) \( \Rightarrow v = \) \(\sqrt {\frac{{2eU}}{m}} \)
AN : \(v = 1,88 \times {10^7}\) m/s
3. Caractérisation de la trajectoire 0,75 pt
Esquisse de la trajectoire (voir image ci-dessus)
Cette trajectoire est un cercle de rayon R. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l’électron est soumis à la force de Lorentz : \(\overrightarrow F = \) \( - e\overrightarrow v \wedge \overrightarrow B \), le poids de l’électron étant négligeable, Appliquons à l’électron le TCI.
Il vient : \( - e\overrightarrow v \wedge \overrightarrow B = m\overrightarrow a \) \( \Rightarrow \overrightarrow a = \) \(\frac{{ - e\overrightarrow v \wedge \overrightarrow B }}{m}\)
Ainsi : \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow B \) \( \Rightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow {{a_n}} \) \( \Rightarrow \frac{{evB}}{m}\) \( = \frac{{{v^2}}}{R}\)
D’où \(R = \frac{{mv}}{{eB}}\)
AN : \(R = 8,55 \times {10^{ - 2}}\) m

Exercice II Systèmes oscillants
Partie A : Oscillations électriques forcées
1. Schéma du branchement
2. Indication de la voie correspondante à chaque courbe 0,5 pt
A est la courbe de la voie 1 \(u(t)\) et B la courbe de la voie 2 \({u_R}(t)\) car le condensateur provoque un retard de phase de \(u(t)\) par rapport à \(i(t)\)
2.1 Détermination de la fréquence N 0,5 pt
Une période couvre 4 divisions et 1 division représente 5 ms. La période est donc : \(T = 4 \times 5\) \( = 20\) ms
\(N = \frac{1}{T} = 50\) Hz
2.2 Valeur efficace I de l’intensité du curant dans le circuit 0,5 pt
\(I = \frac{{{u_{R(\max )}}}}{{R\sqrt 2 }}\) avec \({{u_{R(\max )}} = 1,8 \times 1}\) \({ = 1,8}\)V et \(R = 300\Omega \) Soit \(I = 4,24 \times {10^{ - 3}}\) A
2.3 L’impédance Z du circuit 0,5 pt
\(Z = \frac{{{U_{eff}}}}{{{I_{eff}}}}\) \( = \frac{{u{{(t)}_{\max }}}}{{i{{(t)}_{\max }}}}\)
Avec \({u{{(t)}_{\max }} = 3}\) V et \({i{{(t)}_{\max }} = }\) \({6 \times {{10}^{ - 3}}}\) A soit \(Z = 500\Omega \)
2.4 Calcule de la capacité du condensateur 0,5 pt
\(Z = \) \(\sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{1}{{2\pi NC}}} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow C = \) \(\frac{1}{{2\pi N\sqrt {{Z^2} - {R^2}} }}\)
\(C = \) \(7,96 \times {10^{ - 6}}\) F

Partie B : Étude énergétique d’un oscillateur mécanique
1.1 Montrons que \(\theta = \frac{x}{L}\)
En fait, \(\sin \theta = \frac{x}{L}\), avec \(\sin \theta \approx \theta \) alors \(\theta = \frac{x}{L}\)
1.2 Expression de l’énergie potentielle de pesanteur Epp 0, 75 pt
\(Epp = mgh\) avec \(h = \) \(L - L\cos \theta = \) \(L(1 - \cos \theta )\) \( = \frac{{L{\theta ^2}}}{2}\) \( = \frac{{{x^2}}}{{2L}}\)
\(Epp = \frac{{mg}}{{2L}}{x^2}\)
1.3 Montrons que l’énergie mécanique \(Em = \frac{{mg}}{{2L}}X_M^2\)
En effet, \(Em = Ec + Epp\)
Les frottements étant négligeables, le système est conservatif
Lorsque \(x = Xm\), \(\dot \theta = 0\) et Ec = 0. On a alors \(Em = Epp\) \( = \frac{{mg}}{{2L}}X_M^2\).
2.1 Énergie correspondant à chaque courbe
• correspond à l’énergie mécanique
• correspond à l’énergie potentielle
• correspond à l’énergie cinétique
2.2 Calcule de la vitesse maximale de la masse du pendule 0,75 pt
\({E_{C\max }} = \) \(\frac{1}{2}mv_{c\max }^2\) \( \Rightarrow {v_{C\max }} = \) \(\sqrt {\frac{{2{E_{C\max }}}}{m}} \)
Avec \({E_{C\max }} = 25\) mJ, on a : \({v_{C\max }} = 0,46\) m/s

Exercice III Phénomènes ondulatoires et corpusculaires
Partie A : Ondes mécaniques à la surface de l’eau
1. Faits observés 0,5 pt
On observe une succession de rides circulaires prendre naissance au point d’impact de la tige sur l’eau et s’agrandir lentement.( Mouvement ralenti dans le sens réel)
2. Équation horaire de S 0,5 pt
\({y_s} = \) \(a\sin (2\pi ft + \varphi )\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{y_s}(0) = 0\\y{'_s}(0) \succ 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a\sin (\varphi ) = 0\\\cos (\varphi ) \succ 0\end{array} \right.\) \( \succ \varphi = 0\)
\({y_s} = 2 \times {10^{ - 3}}\) \(\sin (200t)\) avec ys en mètres
3. Équation horaire du mouvement du point M 1 pt
\({y_M} = \) \({y_S}(t - \frac{d}{v})\)
\({y_M} = 2 \times {10^{ - 3}}\) \(\sin (200\pi t - \) \(\frac{{200\pi d}}{v}) = \) \(2 \times {10^{ - 3}}\sin (200\pi t\) \( - 5\pi )\)
On constate que S et M sont en opposition de phase

Partie B Radioactivité
1. Calcule de No 0,5 pt
La quantité de matière d’iode 131 dans l’échantillon est telle que : \(n = \frac{m}{M} = \) \(\frac{{No}}{{{N_A}}}\) alors : \(No = \frac{{m \times {N_A}}}{M}\)
Soit \(No = 4,6 \times {10^{15}}\) noyaux
2. Équation bilan de la désintégration 0,5 pt
\({}_{53}^{131}I \to \) \({}_{54}^{131}Xe + {}_{ - 1}^0e\)
3. Définition de la demi-vie d’un échantillon radioactif 0,5 pt
C’est temps nécessaire pour que la moitie des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se désintègrent.
4. Expression littérale de l’activité Ao 0,5 pt
\(Ao = No\frac{{\ln 2}}{T}\)
AN: \(Ao = \) \(4,6 \times {10^9}Bq\)

Exercice IV Exploitation des résultats d’une expérience
1. Interprétation énergétique de la diminution de l’amplitude 0,5 pt
Cette diminution d’amplitude est due à une diminution progressive de l’énergie mécanique conséquence de l’existence des forces de frottements sur le solide (S)
2. Représentation des forces
3. Pseudo-période T des oscillations
\(T = 0,5\)
Calcule de la constance de raideur k
\(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \) \( \Rightarrow k = \) \(\frac{{4{\pi ^2}m}}{{{T^2}}}\)
AN : \(k = 39,48\) N/m
4. Représentation de Em 0,5 pt
Pour une amplitude Xm donnée, \(Em = \frac{1}{2}kX_m^2\) avec Xm (m), Em (J)
Traçons la courbe 0,5 pt