Exercice I / 4 pts
1.a) Résolvons dans R l’équation \({x^2} - x\) \( - 2 = 0\)
\(\Delta = 9 \succ 0\) donc cette équation admet deux solutions : \({x_1} = - 1\) et \({x_2} = - 2\) 0,75 pt
b) Développons \(\left( {x - 1} \right)\) \(\left( {{x^2} - x - 2} \right)\) = \( = {x^3} - 2{x^2}\) \( - x + 2\) 0,5 pt
c) Déduisons l’ensemble solution dans R de l’inéquation : \({x^3} - 2{x^2}\) \( - x + 2 \le 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\) \(\left( {x - 2} \right)\) \(\left( {x + 1} \right)\) \( \le 0\)
Dressons le tableau de signe de \({x^3} - 2{x^2}\) \( - x + 2 \le 0\)
Donc l’ensemble solution est : \(\left] { - \infty ; - 1} \right] \cup \) \(\left[ {1;2} \right]\) 1pt
2.a) Résolvons dans \({R^2}\) le système (S) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2\\ - x + 4y = 6\end{array} \right.\)
En utilisant la substitution, nous obtenons : \(S = \left\{ {2;2} \right\}\) 0,75 pt
b) Déduisons -en l’ensemble solution du système \(\left\{ \begin{array}{l}2{e^x} - {e^y} = 2\\
- {e^x} + 4{e^y} = 6\end{array} \right.\)
En posant \(X = {e^x}\) et \(Y = {e^y}\), nous retrouvons le système précèdent, SOIT \(\left\{ \begin{array}{l}2X - Y = 2\\ - X + 4Y = 6\end{array} \right.\)
Dont \(\left\{ \begin{array}{l}{e^x} = 2\\{e^y} = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x = \ln 2\\y = \ln 2\end{array} \right.\) 1 pt

Exercice II / 6 pts
1. Recopions et complétons le tableau 1 pt

2. Traçons l’histogramme des effectifs 2 pts
3. Traçons le polygone des effectifs cumulées croissants 1 pt
(Voir graphique 2)
4. Traçons le polygone des effectifs cumulées décroissants 1 pt
(Voir graphique 2)
5. Déterminons graphiquement la médiane 1 pt
(Voir graphique 2)

Problème 10 points
1) Déterminons par lecture graphique : 0,75 pt
f(0) = 3 ; f(1) = 2 ; f(-2) = -7.
2) Conjecturons les limites 1 pt
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \);
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \);
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = - \infty \);
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = + \infty \).
3. Ecrivons une équation de l’asymptote verticale 0,5 pt
\(x = - 1\)
4. Dressons le tableau de variation de f 1 pt
5. Reproduisons la courbe \({C_f}\) et construisons dans le même repère orthonormé \(R = (O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j )\) la représentation graphique de la fonction \(x = \left| {f(x)} \right|\). Unité sur les axes 1 cm 1,5 pt
1. Exprimons f(1), ; f(-2) et f(0) en fonction de a, b et c 1,5 pt
\(\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = a + b + \frac{c}{2}\\
f( - 2) = - 2a + b - c\\
f(0) = b + c
\end{array} \right.\)
2. Déduisons que le triplet (a, b, c) est une solution du système 0,75 pt
\(\left\{ \begin{array}{l}
a + b + \frac{c}{2} = 2\\
- 2a + b - c = - 7\\
b + c = 3
\end{array} \right.\)
3. Recopions la solution du système. 1 pt
\(iii)(1, - 1,4)\)
4. Déduisons que \(f(x) = \) \(\frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\) 1 pt
\(f(x) = \) \(ax + b + \) \(\frac{c}{{x + 1}}\) \( = x - 1 + \) \(\frac{4}{{x + 1}}\) \( = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\)
5. Montrons que F est une primitive de f 1 pt
Il suffit de montrer que \(F'(x) = f(x)\) et \(F(0) = 0\)