Exercice II
1- L’axe du solénoïde est perpendiculaire au méridien terrestre.
Le méridien magnétique en un point est le plan vertical contenant le vecteur champ magnétique terrestre.
2- En absence de courant dans le solénoïde, l’aiguille de la boussole n’est soumise qu’au champ magnétique terrestre, elle se place donc parallèlement au méridien magnétique, c’est à dire ici perpendiculairement à l’axe du solénoïde.
3-1 Représentons \(\overrightarrow {{B_r}} \) la résultante de \(\overrightarrow {{B_H}} \) et de \(\overrightarrow B \) champ crée par la bobine en son centre lors du passage du courant.
3-2 Calcule de l’intensité de courant. D’après le schéma :\(\tan (\beta ) = \frac{{{B_H}}}{B} = \frac{{{B_H}}}{{4\pi {{.10}^{ - 7}}nI}}\) Soit :\[I = \frac{{l.{B_H}}}{{4\pi {{.10}^{ - 7}}N\tan (\beta )}}\] AN : I=11.10-3 A
4-1 La permutation des bornes inverse le sens du courant, donc celui du champ magnétique et la rotation de l’aiguille.
4-2 La valeur de l’angle de rotation est la même (seul le sens change.
Exercice III
1 Calcule du flux propre. Par définition, \({\phi _p} = LI\) AN: \({\phi _p} = {10^{ - 3}}Wb\)
2-1 Les phénomènes d'auto-induction interviennent chaque fois que le courant varie dans un circuit. Les intervalles de temps pour lesquels le courant varie sont: \(0,01s = {t_B} \le {t_1} \le {t_c} = 0,02s\) : \(\Delta {\phi _1} = \)\(L({i_C} - {i_B}) = \)\({5.10^{ - 3}}( - 0,2 - 0,2) = \)\( - {2.10^{ - 3}}Wb\)
\(0,03s = {t_D} \le {t_2} \le {t_E} = 0,04s\) : \(\Delta {\phi _1} = \)\(L({i_E} - {i_D}) = \)\({5.10^{ - 3}}( + 0,2 - ( - 0,2)) = \)\({2.10^{ - 3}}Wb\)
2-2 Calcule de la variation de flux dans chaque cas: Pour: \(0,01s = {t_B} \le {t_1} \le {t_c} = 0,02s\) \[{e_1} = - \frac{{\Delta {\phi _1}}}{{\Delta t}} = - \frac{{{\phi _C} - {\phi _B}}}{{{t_C} - {t_B}}} = - \frac{{ - {{2.10}^{ - 3}}}}{{0,01}} = 0,2v\]
Pour \(0,03s = {t_D} \le {t_2} \le {t_E} = 0,04s\) \[{e_2} = - \frac{{\Delta {\phi _2}}}{{\Delta t}} = - \frac{{{\phi _E} - {\phi _D}}}{{{t_E} - {t_D}}} = - \frac{{{{2.10}^{ - 3}}}}{{0,01}} = - 0,2v\]
3 Expression de la tension aux bornes de la bobine
Aux bornes de la bobine, la tension est donnée par: \[u(t) = ri + e = ri + L\frac{{di}}{{dt}}\]
Pour: \(t \in [0;0,01],{\rm{ }}i = 0,2s\) avec \(\frac{{di}}{{dt}} = 0\) \[u = ri = 2.0,2 = 0,4v{\rm{ }}(1)\]
Pour : \(t \in [0,01;0,02],{\rm{ }}i = - 40t + 0,6\) avec \(\frac{{di}}{{dt}} = - 40\) , \(u = ri + L\frac{{di}}{{dt}}\)\( = 2( - 40t + 0,6) + 5{\rm{ }}{10^{ - 3}}( - 40)\) \[u(t) = - 80t + 1{\rm{ }}(2)\]
Pour : \({\rm{ }}t \in [0,02;0,03],{\rm{ }}i = - 0,2s{\rm{ }}\) avec \(\frac{{di}}{{dt}} = 0\) \[u = ri = 2( - 0,2) = - 0,4v{\rm{ }}(3)\]
Pour: \(t \in [0,03;0,04],{\rm{ }}i = 40t + 0,125\) avec \(\frac{{di}}{{dt}} = 40\) , \(u = ri + L\frac{{di}}{{dt}} = \)\(2(40t + 0,125) + {5.10^{ - 3}}(40)\) \[u(t) = 80t + 0,45{\rm{ }}(4)\]
La représentation graphique en fonction du temps de ces tensions est donnée par:
Exercice IV
1 Lorsque la longueur du solénoïde est supérieure à 10 fois le rayon, il est considéré comme infiniment long.
Alors: \(l = 50cm \succ 10 \times r = 20cm\) le solénoïde est infiniment long
2 Le champ magnétique créé au centre d'un solénoïde a pour :
direction : parallèle à l'axe du solénoïde
sens : donné par la règle du bonhomme d'Ampère.
3-1 Schéma
3.2 Traçons le graphe B = f (I).
4 L’intensité du champ magnétique créé en son centre est donnée par : \[B = {\mu _0}nI = {\mu _0}\frac{N}{l}I\]
5 Le graphe est une droite qui passe par l'origine : B0 et I sont proportionnelles, soit: \({B_0} = aI = \tan (\beta ).I\). D'après l'expression écrite en 4, \({\mu _0}\frac{N}{l}\) correspond à la pente de la droite B = f (I), \(a = \tan (\beta )\)\( = \frac{{BC}}{{AB}}\)\( = \frac{{1,05. - 0,35}}{{1,2 - 0,4}}\)\( = 0,875SI\)
ainsi \(a = \frac{{{\mu _0}N}}{l} \Rightarrow {\mu _0} = \frac{{al}}{N}\) AN: \({\mu _0} = 1,23 \times {10^{ - 3}}{\rm{ }}SI\)
6-1 Graphiquement pour I = 0,9 A, on lit B = 0,8 mT.
6-2 L'ensemble constitue toujours un solénoïde infiniment long. Le nombre de spires par unité de longueur (n) n'a pas changé, donc le champ non plus. La valeur du champ au centre de l'association sera donc B = 0,8 mT.
Exercice V
1 Calcule de la f.é.m. induite.
Désignons par x l’abscisse du milieu, M, du fil DE à l’instant t et par S l’aire du triangle AD’E’. Le flux produit par B à travers la surface S à l’instant t est : \(\phi = BS\)
Lorsque le fil DE se déplace avec une vitesse v dans la direction Ax le flux à travers la surface triangulaire S croît. Cette variation de flux produit une f.é.m. induite e. Un courant induit circule dans le circuit. Son sens est donné par la loi de Lenz: le flux qu’il produit s’oppose à la variation du flux inducteur. Le courant circule dans le sens AD’E’A produisant une induction B’ perpendiculaire à S et de sens contraire à B.
La surface S à pour valeur: \(S = \frac{1}{2}D'E' \times AM,{\rm{ }}\)\(AM = x = D'E'\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) et \(D'E' = \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\)
S devient alors : \(S = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt 3 }}\)
Le fil DE est animé d’un mouvement de translation uniforme tel que \(x = vt\).
L’aire S est donc donnée, en fonction du temps par: \(S = \frac{{{v^2}{t^2}}}{{\sqrt 3 }}\)
Le flux a travers cette surface à l’instant t donné par:\[\phi = \frac{{B{v^2}{t^2}}}{{\sqrt 3 }}\]
La f.é.m. induite est donc donnée par: \[e(t) = - \frac{{d\phi }}{{dt}} = - \frac{{2B{v^2}t}}{{\sqrt 3 }}\]
Pendant le déplacement de du fil DE, x varie de 0 à \(AH = l\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Le temps mis varie de 0 à \({t_f} = \frac{{AH}}{v} = \frac{{l\sqrt 3 }}{{2v}}\)
La f.é.m. varie de 0 à \({e_{{t_f}}} = - \)\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}B{v^2} \times \frac{{l\sqrt 3 }}{{2v}}\)\( = - Bvl\)
AN: B=0,1T, l=50 cm, \(v = \sqrt 3 m/s\) \(e = - 0,346 \times t{\rm{ }}\) volts et \({e_{{t_f}}} = - 0,0866{\rm{ }}\) volts
2 Intensité du courant induit.
Si nous désignons par R la résistance du circuit AD’E’A, le courant induit a une intensité. \[i(t) = \frac{e}{R} = - \frac{{2B{v^2}t}}{{R\sqrt 3 }}\]
Par ailleurs, le fil a une résistance interne r par mètre . La résistance du circuit triangulaire de longueur \(AD' + D'E' + \)\(E'A = 3D'E'{\rm{ }}\) et \(R = r \times 3D'E'\)
Soit :\(R = r.3.\frac{{2x}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 {\rm{ }}rvt\)
2.L’intensité i est donc : \[i = \frac{{ - \frac{2}{{\sqrt 3 }}B{v^2}t}}{{2\sqrt 3 rvt}} = - \frac{{Bv}}{{3r}}\]
Cette intensité est constante i=-0,0577A. (vous devrez inverser le sens du courant sur le schéma, ainsi, i=0,0577A)
3 Calcule de la quantité d’électricité induite: \[Q = \left| i \right|.{t_f} = \frac{{Bv}}{{3r}}\frac{{\sqrt 3 l}}{{2v}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\frac{{Bl}}{r}\]
AN: Q=0,0144 coulomb.
