Correction exercice I

1. Comparons
a) \({\overline {10010} ^2}\) et \({\overline {111} ^2}\)
Si deux entiers ont un nombre diffèrent de chiffres, celui qui a le plus grand nombre de chiffres est le plus grand.
\({\overline {111} ^2} \prec \) \({\overline {10010} ^2}\)
b) \({\overline {4530} ^7}\) et \({\overline {4521} ^7}\)
Si deux entiers ont le nombre de chiffres, on compare alors les chiffres correspondant aa la plus grande puissance de \(a\), et iainsi de suite.
\({\overline {4521} ^7} \prec \) \({\overline {4530} ^7}\)
2. Ecrivons dans le système décimal les nombres \({\overline {423} ^5}\)
• \({\overline {423} ^5} = 4 \times {5^2}\) \( + 2 \times {5^1} + 3 \times {5^0}\) \( = 4 \times 25 + \) \(2 \times 5 + 3 = \) \(113\)
• \({\overline {10100111001} ^2}\) \( = {2^{10}} + {2^8}\) \( + {2^5} + {2^4} + \) \({2^3} + {2^0}\)
• \({\overline {F0A5} ^{16}} = \) \(15 \times {16^3} + \) \(0 \times {16^2} + \) \(10 \times {16^1} + \) \(5 \times {16^0}\)

Correction exercice II

1) Ecrivons dans le système décimal le nombre : \({\overline {432} ^5}\)
\({\overline {432} ^5} = \) \(4 \times {5^2} + 3 \times {5^1}\) \( + 2 = 117\)
2) Ecrivons dans le système binaire le nombre : 127
En devisant successivement 127 par 2, nous avons : \(127 = \) \({\overline {1111111} ^2}\)
3) Ecrivons dans le système décimal le nombre : \({\overline {F0A3} ^{16}}\)
\({\overline {F0A3} ^{16}} = \) \(F \times {16^3} + \) \(0 \times {16^2} + \) \(A \times {16^1} + 3\) \( = 61630\)
4) Sachant que \(14 = 13 + 1\), écrivons \({14^8}\) dans le système de base 13.
\({14^8} = {\left( {13 + 1} \right)^8}\) \( = {13^8} + 8 \times {13^7}\) \( + 28 \times {13^6} + \) \(56 \times {13^5} + \) \(70 \times {13^4} + \) \(56 \times {13^3} + \) \(28 \times {13^2} + \) \(8 \times {13^1} + 1\)
\(28 = 13 \times 2 + 2\)
\(56 = 13 \times 4 + 4\)
\(70 = 13 \times 5 + 5\)
Ainsi
\({\left( {13 + 1} \right)^8}\) \( = 1 \times {13^8} + \) \(10 \times {13^7} + \) \(6 \times {13^6} + \) \(9 \times {13^5} + \) \(9 \times {13^4} + \) \(6 \times {13^3} + \) \(2 \times {13^2} + \) \(8 \times {13^1} + 1\)
\({14^8} = \) \({\overline {1A6996281} ^{13}}\)
5) Un nombre s’écrit BABA (Avec : A = 10 et B = 11) dans le système hexadécimal.
Ecrivons ce nombre dans le système octal.
\({\overline {BABA} ^{16}} = \) \(11 \times {16^3} + \) \(10 \times {16^2} + \) \(11 \times {16^1} + \) \(10\)
Dans le système octal, les symboles utilisés sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7
\({\overline {BABA} ^{16}} = \) \(\left( {8 + 3} \right) \times {\left( {8 \times 2} \right)^3} + \) \(\left( {8 + 2} \right) \times {\left( {8 \times 2} \right)^2} + \) \(\left( {8 + 3} \right) \times {\left( {8 \times 2} \right)^1} + \) \(\left( {8 + 2} \right)\)
Le développement et la somme des termes de même puissance donnent :
\({\overline {BABA} ^{16}} = \) \({8^5} + 3 \times {8^4} + \) \(8 \times {4^3} + \) \(2 \times {8^2} + \) \(7 \times {8^1} + 2\)
\({\overline {BABA} ^{16}} = \) \({\overline {135272} ^8}\)

Correction exercice III

Soit \(b\) un entier supérieur ou égal à 2. Montrons que tout entier naturel non nul \(a\) s’écrit de façon unique sous la forme : \(a = {a_n}{b^n} + ...\) \( + {a_1}{b^1} + {a_0}\) où \(n \in \) \( \mathbb{N}\), \({a_i} \in \{ 0,1,...\) \(,b - 1\} \) pour tout \(i\), et \({a_n} \ne 0\)
Voir cours

Correction exercice IV

• Ecrire le nombre \(A = \) \({\overline {10 11 01 10 10 11} ^2}\) en base 4
En effet \(4 = {2^2}\), nous regroupons \(A\) en jeu de 2 chiffres à partir de la droite
\(A \Rightarrow 10/11/\) \(01/10/10/11\) \( \Rightarrow 1 \times {2^1} + \) \(0 \times {2^0}/1 \times {2^1}\) \( + 1 \times {2^0}/0 \times {2^1}\) \( + 1 \times {2^0}/1 \times {2^1}\) \( + 0 \times {2^0}/1 \times {2^1}\) \( + 0 \times {2^0}/1 \times {2^1}\) \( + 1 \times {2^0}\) \( \Rightarrow 2/3/1/\) \(2/3/3\)
\(A = \) \({\overline {101101101011} ^2}\) \( = {\overline {231233} ^4}\)
• Ecrire le nombre \(A = \) \({\overline {101101101011} ^2}\) en base 8
En effet \(8 = {2^3}\), nous regroupons \(A\) en jeu de 3 chiffres à partir de la droite
\(A \Rightarrow \) \(101/101\) \(/101/011\)
\( \Rightarrow 1 \times {2^2} + \) \(0 \times {2^1} + 1 \times {2^0}\) \(/1 \times {2^2} + \) \(0 \times {2^1} + \) \(1 \times {2^0}/\) \(1 \times {2^2} + \) \(0 \times {2^1} + \) \(1 \times {2^0}/\) \(0 \times {2^2} + \) \(1 \times {2^1} + \) \(1 \times {2^0}\) \( \Rightarrow 5/5/5/3\)
\(A = \) \({\overline {101101101011} ^2}\) \( = {\overline {5553} ^8}\)
• Ecrire le nombre \(A = \) \({\overline {101101101011} ^2}\) en base 16
En effet \(16 = {2^4}\), nous regroupons \(A\) en jeu de 4 chiffres à partir de la droite
\(A \Rightarrow 1011/\) \(0110/\) \(1011\) \( \Rightarrow 1 \times {2^3} + \) \(0 \times {2^2} + 1 \times {2^1}\) \( + 1 \times {2^0}/0 \times {2^3}\) \( + 1 \times {2^2} + \) \(1 \times {2^1} + 0 \times {2^0}\) \(/1 \times {2^3} + \) \(0 \times {2^2} + \) \(1 \times {2^1} + \) \(1 \times {2^0}\) \( \Rightarrow 11/6/11\)
\(A = \) \({\overline {101101101011} ^2}\) \( = {\overline {B6B} ^{16}}\)

Correction exercice V

Un entier naturel s’écrit \(xy7\) dans le système décimal et \(y00x\) dans le système a base 8
a) Sachant que \(y=x-4\) ; Déterminons \(x\) et \(y\).
\(N = x \times {10^2} + \) \(y \times {10^1} + \) \(7 \times {10^0} = \) \(100x + \) \(10y + 7\)
\(N = y \times {8^3} + \) \(0 \times {8^2} + \) \(0 \times {8^1} + \) \(x \times {8^0} = \) \(512y + x\)
Avec : \(x \prec 8\) et \(y \prec 8\)
On pose \(N = N\) \( \Rightarrow 100x + \) \(10y + 7 = \) \(512y + x\)
Soit \(99x - 502y\) \( + 7 = 0\) et \(y = x - 4\)
\(\left( {x;y} \right) = \) \(\left( {5;1} \right)\)
b) Écrire ce nombre en système décimal ; binaire ; octa décimal et hexa décimal
• En décimal : \(? = 517\)
• En binaire : \(? = \) \(1000000101\)
• En octa-décimal : \(? = 1005\)
• En hexadécimal : \(? = 205\)