Exercice I

1) Déterminer le reste de la division euclidienne de ${11^{1999}}$ par 7.
2) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste de division euclidienne de ${11^n}$ par 7.

Exercice II

1) On considère l’entier naturel A qui s’écrit $53x4$ dans le système de numération de base huit. Déterminer x de telle sorte que :
a) A soit divisible par 7.
b) A soit divisible par 6. En déduire que A est divisible à la fois par 6 et 7.
2) On prend x=2. Déterminer l’écriture décimale de A. Quel est le nombre de diviseurs de A?
Trouver le plus petit nombre entier naturel non nul par le quel il faut multiplier A pour que le produit soit un carré parfait.

Exercice III

On considère l’entier naturel représenté en base b par $A=342x$
Déterminer le chiffre x pour que A soit :
a) divisible par 5, quand $b=6$
b) divisible par 3, quand $b=7$
c) divisible par 12, quand $b=17$

Exercice IV

1) Déterminer suivant les valeurs de n, les restes de la division de ${5^n}$ par 7
2) En déduire le reste de la division euclidienne de ${5^{136}}$ par 7
3) Un nombre s’écrit $3x53$ en base 10
Déterminer x pour que l’on ait ${5^{136}} + 3x53 \equiv$ $0\left[ 7 \right]$

Exercice V

Soit $x$ un entier naturel non nul et ${a_p}{a_{p - 1}}...{a_1}{a_0}$ son écriture décanale.
$x = {a_p}{10^p} +$ ${a_{p - 1}}{10^{p - 1}} + ...$ $+ {a_1}{10^1} + {a_0}$
A. Congruences modulo 5
A.1 Démontrer que $x \equiv {a_0}\left[ 5 \right]$.
A.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 5 de 1826, 3252 et 27325
B. Congruences modulo 4 et modulo 25
B.1 Démontrer que $x \equiv {a_1}{a_0}\left[ 4 \right]$ et $x \equiv {a_1}{a_0}\left[ 25 \right]$
B.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 4 et 25 de 1826, 3252 et 27325
C. Congruences modulo 9 et modulo 3
C.1 Démontrer que $x \equiv \sum\limits_{k = 0}^p {{a_k}\left[ 9 \right]}$ et $x \equiv \sum\limits_{k = 0}^p {{a_k}\left[ 3 \right]}$
C.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 9 et 3 de 1826, 3252 et 27325
D. Congruences modulo 11
D.1 Démontrer que $x \equiv$ $\sum\limits_{k = 0}^p {{{\left( { - 1} \right)}^k}{a_k}\left[ 11 \right]}$
D.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 11 de 1826, 3252 et 27325.