Exercice I

1) Déterminer le reste de la division euclidienne de \({11^{1999}}\) par 7.
2) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste de division euclidienne de \({11^n}\) par 7.

Exercice II

1) On considère l’entier naturel A qui s’écrit \(53x4\) dans le système de numération de base huit. Déterminer x de telle sorte que :
a) A soit divisible par 7.
b) A soit divisible par 6. En déduire que A est divisible à la fois par 6 et 7.
2) On prend x=2. Déterminer l’écriture décimale de A. Quel est le nombre de diviseurs de A?
Trouver le plus petit nombre entier naturel non nul par le quel il faut multiplier A pour que le produit soit un carré parfait.

Exercice III

On considère l’entier naturel représenté en base b par \(A=342x\)
Déterminer le chiffre x pour que A soit :
a) divisible par 5, quand \(b=6 \)
b) divisible par 3, quand \(b=7 \)
c) divisible par 12, quand \(b=17\)

Exercice IV

1) Déterminer suivant les valeurs de n, les restes de la division de \({5^n}\) par 7
2) En déduire le reste de la division euclidienne de \({5^{136}}\) par 7
3) Un nombre s’écrit \(3x53\) en base 10
Déterminer x pour que l’on ait \({5^{136}} + 3x53 \equiv \) \(0\left[ 7 \right]\)

Exercice V

Soit \(x\) un entier naturel non nul et \({a_p}{a_{p - 1}}...{a_1}{a_0}\) son écriture décanale.
\(x = {a_p}{10^p} + \) \({a_{p - 1}}{10^{p - 1}} + ...\) \( + {a_1}{10^1} + {a_0}\)
A. Congruences modulo 5
A.1 Démontrer que \(x \equiv {a_0}\left[ 5 \right]\).
A.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 5 de 1826, 3252 et 27325
B. Congruences modulo 4 et modulo 25
B.1 Démontrer que \(x \equiv {a_1}{a_0}\left[ 4 \right]\) et \(x \equiv {a_1}{a_0}\left[ 25 \right]\)
B.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 4 et 25 de 1826, 3252 et 27325
C. Congruences modulo 9 et modulo 3
C.1 Démontrer que \(x \equiv \sum\limits_{k = 0}^p {{a_k}\left[ 9 \right]} \) et \(x \equiv \sum\limits_{k = 0}^p {{a_k}\left[ 3 \right]} \)
C.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 9 et 3 de 1826, 3252 et 27325
D. Congruences modulo 11
D.1 Démontrer que \(x \equiv \) \(\sum\limits_{k = 0}^p {{{\left( { - 1} \right)}^k}{a_k}\left[ 11 \right]} \)
D.2 Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 11 de 1826, 3252 et 27325.