Correction exercice I

1) Déterminons le reste de la division euclidienne de ${11^{1999}}$ par 7.
${11^{1999}} \equiv r\left[ 7 \right]$, comme $11 \equiv 4\left[ 7 \right]$ alors déterminons les puissances de 4
$4 \equiv 4\left[ 7 \right]$ ; ${4^2} \equiv 2\left[ 7 \right]$; ${4^3} \equiv 2 \times 4\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {4^3} \equiv 8\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {4^3} \equiv 1\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow p = 3$
Et on a : $1999 =$ $3 \times 666 + 1$
Alors $11 \equiv 4\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${11^{1999}} \equiv {4^{1999}}$ $\left[ 7 \right] \Rightarrow {11^{1999}} \equiv$ ${4^{3 \times 666 + 1}}\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {11^{1999}} \equiv {4^{3 \times 666}}$ $\times 4\left[ 7 \right] \Rightarrow {11^{1999}}$ $\equiv 4\left[ 7 \right]$
Alors $r = 4$
2) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste de division euclidienne de ${11^n}$ par 7.
Supposons ${11^n} = x\left[ 7 \right]$, Comme $11 \equiv 4\left[ 7 \right]$ alors déterminons les puissances de 4
$4 \equiv 4\left[ 7 \right]$, ${4^2} \equiv 2\left[ 7 \right]$
${4^3} \equiv 2 \times 4\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {4^3} \equiv 8\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {4^3} \equiv 1\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow p = 3$ ainsi $n = 3k + r$ avec $0 \le r \prec 3$. Alors
${11^n} \equiv {4^{3k}} \times$ ${4^r}\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${11^n} \equiv {4^r}\left[ 7 \right]$
• Pour $r = 0$ alors ${11^n} \equiv {4^0}\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {11^n} \equiv$ $1\left[ 7 \right] \Rightarrow x = 1$
• Pour $r = 1$ alors ${11^n} \equiv {4^1}\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {11^n} \equiv$ $4\left[ 7 \right] \Rightarrow x = 4$
• Pour $r = 2$ alors ${11^n} \equiv {4^2}\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {11^n} \equiv$ $2\left[ 7 \right] \Rightarrow x = 2$

Correction exercice II

1) On considère l’entier naturel A qui s’écrit $53x4$ dans le système de numération de base huit.
a) Déterminons $x$ de telle sorte que A soit divisible par 7.
Ecrivons A dans le système décimal : $A = {\overline {53x4} ^8} =$ $4 \times {8^3} + 3 \times {8^2}$ $+ 8x + 4 =$ $8x + 2756$ avec $0 \le x \prec 8$
A est divisible par 7, alors $A \equiv 0\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow 8x + 2756$ $\equiv 0\left[ 7 \right] \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}2756 \equiv 5\left[ 7 \right]\\8 \equiv 1\left[ 7 \right]\end{array} \right.$ $\Rightarrow x + 5 \equiv$ $0\left[ 7 \right]$
$x \equiv - 5\left[ 7 \right] \Rightarrow$ $x \equiv \left( {7 - 5} \right)\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow x \equiv 2\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow x = 2 + 2k$ alors si $k=0$, on a $x=2$
b) Déterminons $x$ de telle sorte que A soit divisible par 6.
$A \equiv 0\left[ 6 \right] \Rightarrow$ $8x + 2756 \equiv$ $0\left[ 6 \right] \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}2756 \equiv 2\left[ 6 \right]\\8 \equiv 2\left[ 6 \right]\end{array} \right.$ $\Rightarrow 2x + 2 \equiv$ $0\left[ 6 \right]$
$2x \equiv - 2\left[ 6 \right]$ $\Rightarrow 2x \equiv$ $\left( {6 - 2} \right)\left[ 6 \right]$ $\Rightarrow 2x \equiv 4$ $\left[ 6 \right] \Rightarrow x =$ $2 + 3k$ alors si $k=0$ on a $x=2$ si $k=1$ on a $x=5$
A est à la fois divisible par 7 et par 6 si $x=$.
2) On prend $x=2$ Déterminons l’écriture décimale de A.
$A = 8 \times 2 +$ $2756 = 2772$
Déterminons le nombre de diviseurs de A
$d\left( A \right) =$ ${2^2} \times {3^2} \times 7$ $\times 11 = \left( {2 + 1} \right)$ $\left( {2 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)$ $\left( {1 + 1} \right) =$ $3 \times 3 \times 2 \times 2$ $= 36$
Trouvons le plus petit nombre entier naturel non nul par lequel il faut multiplier A pour que le produit soit un carré parfait
$d\left( A \right) = {2^2} \times {3^2}$ $\times 7 \times 11 =$ ${\left( {2 \times 3} \right)^2} \times$ $\left( {7 \times 11} \right) =$ ${6^2} \times 77$
Soit $\alpha = {6^{2k}} \times {77^{2k + 1}}$ le nombre entier naturel avec lequel on doit multiplier A.
Pour $k=0$, on a $\alpha = {6^0} \times {77^{0 + 1}}$ $= 77$.

Correction exercice III

On considère l’entier naturel représenté en base b par $A=342x$
Déterminons le chiffre x pour que A soit :
a) divisible par 5, quand $b=6$
$A = {\overline {342x} ^6}$ $\equiv 0\left[ 5 \right] \Rightarrow 3 \times {6^3}$ $+ 4 \times {6^2} + 2 \times 6$ $+ x \equiv 0\left[ 5 \right]$
$x + 804 \equiv 0\left[ 5 \right]$ or $804 \equiv 4\left[ 5 \right]$ alors $x + 4 \equiv 0\left[ 5 \right]$ $\Rightarrow x \equiv - 4$ $\left[ 5 \right] \Rightarrow x \equiv$ $\left( {5 - 4} \right)\left[ 5 \right]$ $\Rightarrow x \equiv 1\left[ 5 \right]$
D’où $x = 1 + 5k$ avec $0 \le x \prec 6$ ainsi $k=0$ et $x=1$
b) divisible par 3, quand $b=7$
$A = {\overline {342x} ^7}$ $\equiv 0\left[ 3 \right] \Rightarrow 3$ $\times {7^3} + 4 \times {7^2}$ $+ 2 \times 7 + x \equiv$ $0\left[ 3 \right]$
$x + 1239 \equiv$ $0\left[ 3 \right]$
$1239 \equiv 0\left[ 3 \right]$ $\Rightarrow x \equiv 0\left[ 3 \right]$ $\Rightarrow x = 3k$ avec $0 \le x \prec 7$
• Pour $k=0$, on a $x=0$
• Pour $k=1$, on a $x=3$
• Pour $k=2$, on a $x=6$
D’où $x = \left\{ {0;3;6} \right\}$
c) divisible par 12, quand $b=17$
$A = {\overline {342x} ^{17}}$ $\equiv 0\left[ {12} \right] \Rightarrow$ $3 \times {17^3} + 4 \times {17^2}$ $+ 2 \times 17 + x \equiv 0$ $\left[ {12} \right]$
$x + 15929$ $\equiv 0\left[ {12} \right]$
$15929 \equiv 5\left[ {12} \right]$ $\Rightarrow x + 5 \equiv 0$ $\left[ {12} \right] \Rightarrow x$ $\equiv - 5\left[ {12} \right] \Rightarrow$ $x \equiv \left( {12 - 5} \right)$ $\left[ {12} \right] \Rightarrow x \equiv$ $7\left[ {12} \right]$
$x = 7 + 12k$ avec $0 \le x \prec 17$
• Pour $k=0$, on a $x=7$

Correction exercice IV

1) Déterminons suivant les valeurs de n, les restes de la division de ${5^n}$ par 7
Supposons ${5^n} \equiv R\left[ 7 \right]$ comme $5 \equiv 5\left[ 7 \right]$ alors déterminons les puissances de 5
$5 \equiv 5\left[ 7 \right]$, ${5^2} \equiv 4\left[ 7 \right]$; ${5^3} \equiv 6\left[ 7 \right]$
${5^4} \equiv 5 \times 6\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {5^4} \equiv 2\left[ 7 \right]$
${5^5} \equiv 5 \times 2\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {5^5} \equiv 3\left[ 7 \right]$
${5^6} \equiv 5 \times 3\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {5^6} \equiv 1\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow p = 6$
$n = r + 6k$ avec $0 \le r \prec 6$
$5 \equiv 5\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {5^n} \equiv {5^n}\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow {5^n} \equiv {5^{6k + r}}$ $\left[ 7 \right] \Rightarrow {5^n} \equiv$ ${5^r}\left[ 7 \right]$
• Pour $r=0$ alors ${5^n} \equiv {5^0}\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${5^n} \equiv 1\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow R = 1$
• Pour $r=1$ alors ${5^n} \equiv {5^1}\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${5^n} \equiv 5\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow R = 5$
• Pour $r=2$ alors ${5^n} \equiv {5^2}\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${5^n} \equiv 4\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow R = 4$
• Pour $r=3$ alors ${5^n} \equiv {5^3}\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${5^n} \equiv 6\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow R = 6$
• Pour $r=4$ alors ${5^n} \equiv {5^4}\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${5^n} \equiv 2\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow R = 2$
• Pour $r=5$ alors ${5^n} \equiv {5^5}\left[ 7 \right] \Rightarrow$ ${5^n} \equiv 3\left[ 7 \right]$ $\Rightarrow R = 3$
2) En déduire le reste de la division euclidienne de ${5^{136}}$ par 7
${5^{136}} \equiv R\left[ 7 \right]$ comme $136 = 6 \times 22$ $+ 4$ alors $r = 4$ $\Rightarrow {5^{136}} \equiv {5^4}$ $\left[ 7 \right] \Rightarrow {5^{136}} \equiv$ $2\left[ 7 \right] \Rightarrow$ $R = 2$
3) Un nombre s’écrit $3x53$ en base 10
Déterminons x pour que l’on ait ${5^{136}} + 3x53 \equiv$ $0\left[ 7 \right]$
Vous retrouvez $x = \left\{ 4 \right\}$

Correction exercice V

Soit $x$ un entier naturel non nul et ${a_p}{a_{p - 1}}...{a_1}{a_0}$ son écriture décanale.
$x = {a_p}{10^p} +$ ${a_{p - 1}}{10^{p - 1}} + ...$ $+ {a_1}{10^1} + {a_0}$
A. Congruences modulo 5
RQ : Un entier $x$ est divisible par 5 si et seulement si cet entier est terminé par 0 ou 5.
A.1 Démontrons que : $x \equiv {a_0}\left[ 5 \right]$
On a $10 \equiv 0\left[ 5 \right]$; donc pour tout entier naturel $k$ non nul : ${10^k} \equiv 0\left[ 5 \right]$
On en déduit que : ${a_p}{10^p} +$ ${a_{p - 1}}{10^{p - 1}} + ...$ $+ {a_1}{10^1} + {a_0}$ $\equiv {a_0}\left[ 5 \right]$
A.2 Les restes des divisions euclidiennes par 5 de 1826, 3252 et 27325 sont respectivement 1,2 et 0.
B. Congruences modulo 4 et modulo 25
RQ : Un entier $x$ est divisible par 4 (respectivement par 25) si et seulement si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 (respectivement par 25).
B.1 Ainsi ${10^2} \equiv 0\left[ 4 \right]$ et ${10^2} \equiv 0\left[ 25 \right]$
Donc, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2 : ${10^k} \equiv 0\left[ 4 \right]$ et ${10^k} \equiv 0\left[ 25 \right]$
On en déduit que : ${a_p}{10^p} + {a_{p - 1}}{10^{p - 1}}$ $+ ... + {a_1}{10^1} + {a_0}$ $\equiv a{.10^1} + {a_0}\left[ 4 \right]$
${a_p}{10^p} + {a_{p - 1}}{10^{p - 1}}$ $+ ... + {a_1}{10^1} + {a_0}$ $\equiv a{.10^1} + {a_0}\left[ 25 \right]$
A.2 Les restes des divisions euclidiennes par 4 de 1826, 3252 et 27325 sont respectivement 2,0 et 1.
A.2 Les restes des divisions euclidiennes par 25 de 1826, 3252 et 27325 sont respectivement 1,2 et 0.
C. Congruences modulo 9 et modulo 3
RQ : Un entier $x$ est divisible par 3 (respectivement par 9 ) si et seulement si la somme de ces chiffres est divisible par 3 ( respectivement par 9 ).
C.1 Ainsi : $10 \equiv 1\left[ 9 \right]$ et $10 \equiv 1\left[ 3 \right]$
Donc, pour tout entire naurel $k$ : ${10^k} \equiv 1\left[ 9 \right]$ et ${10^k} \equiv 1\left[ 3 \right]$
On en deduit que :
${a_p}{10^p} +$ ${a_{p - 1}}{10^{p - 1}} + ... +$ ${a_1}{10^1} + {a_0}$ $\equiv \sum\limits_{k = 0}^p {{a_k}\left[ 9 \right]}$
${a_p}{10^p} +$ ${a_{p - 1}}{10^{p - 1}} + ... +$ ${a_1}{10^1} + {a_0}$ $\equiv \sum\limits_{k = 0}^p {{a_k}\left[ 3 \right]}$
C..1 Les restes des divisions euclidiennes par 9 de 1826, 3252 et 27325 sont respectivement 8,3 et 1.
Les restes des divisions euclidiennes par 3 de 1826, 3252 et 27325 sont respectivement 2, 0 et 1.
D. Congruences modulo 11
RQ : Un entier N est divisible par 11 si et seulement si la différence de la somme des chiffres de rang pair et de la somme des chiffres de rang impair est divisible par 11.
D.1 : On a : $10 \equiv - 1\left[ {11} \right]$ donc, pour tout entier naturel $k$ : ${10^k} \equiv {\left( { - 1} \right)^k}$ $\left[ {11} \right]$
On en deduit que : ${a_p}{10^p} + {a_{p - 1}}{10^{p - 1}}$ $+ ... + {a_1}{10^1} + {a_0}$ $\equiv \sum\limits_{k = 0}^p {{{\left( { - 1} \right)}^k}{a_k}\left[ 11 \right]}$
D.2 : Les restes des divisions euclidiennes par 11 de 1826, 3252 et 27325 sont respectivement 0, 7 et 1.