Exercice I
a) A l’aide du théorème de Bézout, démontrer que : \(\forall n \in \) \( \mathbb{Z}\), \(PGCD\left( {2n + 1;3n + 1} \right)\) \( = 1\).
b) Démontrer que 137 est un nombre premier
c) Décomposer 4872 en produit de facteurs premiers.
d) Résoudre dans \( \mathbb{Z}^2\), les équations suivantes :
• \(6y - 3x = 5\)
• \(6y - 3x = 3\)
e) En déduit de ce qui précède, les solutions dans \( \mathbb{Z}^2\) de l’équation :
\(\left( {6y - 3x - 4} \right)\) \(\left( {6y - 3x + 4} \right)\) \( = 1\)
f) Déterminer le PPCM et le PGCD de 700 et 18375

Exercice II
A l’aide de deux seaux dont les capacités en litres sont \(C_1\) et \(C_2\), on veut mettre exactement 1 litre d’eau dans une citerne que l’on peut remplir ou vider à volonté
Est-ce possible lorsque \(C_1 = 7\) et \(C_2 = 4\) ?
Lorsque \(C_1 = 6\) et \(C_2 = 4\)
2. Étudier le cas général

Exercice III
Détermination des coefficients de Bézout
1) Démontrer, En utilisant l’algorithme d’Euclide, que 54 et 271 sont premiers entre eux.
2) En déduire deux entiers \(u\) et \(v\) tels que : \(564u + 271v\) \( = 1\)

Exercice IV
On se propose de résoudre dans \( \mathbb{Z}^2\) l’équation (E) : \(34x - 15y = 2\)
1. Résoudre dans \( \mathbb{Z}^2\) l’équation (E’) : \(34x - 15y = 0\) ;
2. Déterminer une solution \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) de ( E) ;
3. Résoudre (E)

Exercice V
1. Résoudre dans \( \mathbb{Z}\)} le système \(\left( {{S_1}} \right)\) : \(\left\{ \begin{array}{l}x \equiv - 1\left[ {34} \right]\\x \equiv 1\left[ {15} \right]\end{array} \right.\)
2. Résoudre dans \( \mathbb{N}\) le système \(\left( {{S_2}} \right)\) : \(\left\{ \begin{array}{l}PGCD\left( {x;y} \right) = 12\\x + y = 60\end{array} \right.\)

Exercice VI
Soit \(p\) un nombre premier.
1) a) Démontrer que pour tout entier \(i\) strictement compris entre 0 et \(p\), \(C_p^i\) est multiple de \(p\).
b) En déduire que pour tous entiers relatifs \(a\) et \(b\), on a : \({\left( {a + b} \right)^p} \equiv \) \({a^p} + {b^p}\left[ p \right]\)
2. a) Demontrer que \(\forall a \in \) \( \mathbb{N}\)}, \({a^p} \equiv a\left[ p \right]\).
b) En déduire que pour tout entier naturel \(a\) premier avec \(p\), on a : \({a^{p - 1}} \equiv 1\left[ p \right]\)

Exercice VII

Trouver dans le système décimal un entier \(? = ????\) divisible par 45 et tels que le couple (b; c) soit solution de l’équation : \({x^2} - {y^2} = 24\)

Exercice VIII
Un terrain a la forme d’un triangle dont les côtés ont pour mesures 132m ; 156m et 204m. On veut planter des arbres sur son pourtour de façon à ce qu’il ait un arbre à chaque sommet du triangle et les arbres soient également espacés Quel est le nombre minimum d’arbres que l’on pourra planter si l’on veut que la distance entre deux arbres puisse être exprimée par un nombre entier de mètre ?

Exercice IX
Un phare émet trois feux différents : un rouge toutes les 18 secondes ; un vert toutes les 45 secondes et un blanc toutes les 2 minutes 30 secondes. Ces trois feux sont émis simultanément à minuit.
Trouver les instants d’émissions simultanés de feux :
a) Rouge et vert
b) Rouge et blanc
c) Vert et blanc
d) Rouge; vert et blanc