Correction: Forces et champs

CORRECTION I Forces et champs

Exercice I

1. Le sens de la force de Laplace est donné par la règle des trois doigts de la main droite.2.1 Position d’équilibre. \(OA = - a,\)\(OB = a\) et \(OM = x\)La résultante des forces appliquées sur la particule q’ en M est : \({\overrightarrow F _M} = {\overrightarrow F _{A/M}} + {\overrightarrow F _{B/M}} = \)\( - k\frac{{\left| q \right|\left| {q'} \right|}}{{A{M^2}}}\overrightarrow i + k\frac{{\left| q \right|\left| {q'} \right|}}{{B{M^2}}}\overrightarrow i \). \[{\overrightarrow F _M} = k\left| q \right|\left| {q'} \right|\left( { - \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}}} \right)\overrightarrow i \]
La position d’équilibre de \(q'\) est obtenue pour \({\overrightarrow F _M} = \overrightarrow 0 \) soit AM=BM .
Le point M doit être confondu au point O.
2.2 Calcule de la force exercée sur q’ hors de la position d’équilibre. \(AM = x + a\) et \(BM = x - a\) \({\overrightarrow F _M} = k\left| q \right|\left| {q'} \right|\frac{{ - {{(x - a)}^2} + {{(x + a)}^2}}}{{{{(x - a)}^2}{{(x + a)}^2}}}\overrightarrow i \) \[{\overrightarrow F _M} = k\left| q \right|\left| {q'} \right|\frac{{4ax}}{{{{({x^2} - {a^2})}^2}}}\overrightarrow i \]
3.1 Calcule de la force gravitationnelle résultante. \(\overrightarrow F (x) = {\overrightarrow F _{T/P}} + {\overrightarrow F _{L/P}} = \)\(\overrightarrow F (x) = - G\frac{{{M_T}{m_P}}}{{{x^2}}}\overrightarrow i + G\frac{{{M_L}{m_P}}}{{{{(l - x)}^2}}}\overrightarrow i \) \[\overrightarrow F (x) = G{m_P}\left( { - \frac{{{M_T}}}{{{x^2}}} + \frac{{{M_L}}}{{{{(l - x)}^2}}}} \right)\overrightarrow i \]
3.2 Le satellite sera en équilibre lorsque la force résultante qui lui est appliquée sera nulle. \(\overrightarrow F (x) = \overrightarrow 0 \)
Ainsi: \(\left( { - \frac{{{M_T}}}{{{x^2}}} + \frac{{{M_L}}}{{{{(l - x)}^2}}}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{{{{(l - x)}^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}\) \[\frac{{l - {x_e}}}{{{x_e}}} = \pm \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} \Rightarrow {x_e} = \frac{l}{{1 \pm \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} }}\]
Deux solutions sont à envisager :
\({x_e} = \frac{l}{{1 + \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} }}\) (1) et \({x_e} = \frac{l}{{1 - \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} }}\)(2) . La seconde solution est supérieure à l alors que le satellite est entre la terre et la lune. Elle est à exclure. \[{x_e} = \frac{{9l}}{{10}} = 3,46 \times {10^5}km\]

CORRECTION II Forces et champs

CORRECTION II Forces et champs

Exercice 2

1. Le vecteur champ créé en C résulte de la superposition (addition) des champs créés par les deux charges placées en A et B.\[\overrightarrow E = {\overrightarrow E _A} + {\overrightarrow E _B}\]
La charge qA est négative; le champ \({\overrightarrow E _A}\) est centripète; i.e. orienté vers son centre A.
La charge qB est positive , le champ \({\overrightarrow E _B}\) est centrifuge; i.e. s’éloigne de son centre B.
1. Caractéristiques de vecteur \(\overrightarrow E \)
Direction:(AB)
Sens :De C vers A
Point d’application:le point C
Intensité: \({E^2} = E_A^2 + E_B^2 + 2{E_A}{E_B}\cos (\widehat {{{\overrightarrow E }_A};{{\overrightarrow E }_B}})\) \[E = \left| {{E_A} + {E_B}} \right| = k\left| {\frac{{\left| {{q_A}} \right|}}{{A{C^2}}} + \frac{{\left| {{q_B}} \right|}}{{B{C^2}}}} \right|\] \(E = 40 \times {10^3}v/m\)
2.1 Bilan des forces appliquées sur la sphère C
le poids
La réaction du plan
Les forces \({\overrightarrow F _{A/C}}\) et \({\overrightarrow F _{B/C}}\) représentées
par la résultante \(\overrightarrow F \). \[\overrightarrow F = {\overrightarrow F _{A/C}} + {\overrightarrow F _{B/C}}\]
2.2 Calcule de la masse de la sphère
D’après la condition d’équilibre \(\overrightarrow F + \overrightarrow P + \overrightarrow R = \overrightarrow 0 \)
En projetant cette relation :
suivant x’x, \( - {q_C}E + P\sin (\alpha ) = 0\), \[m = \frac{{{q_C}E}}{{g\sin (\alpha )}} = 2,4 \times {10^{ - 4}}kg\]
Suivant y’y, \( - mg\cos (\alpha ) + R = 0\), \[R = mg\cos (\alpha ) = 2,07{\rm{ }}{10^{ - 3}}N\]
3. En maintenant la tige horizontalement, elle va se déplacer vers la position où la résultante des forces est nulle: position équipotentielle.
\({E_A} = {E_B} \Rightarrow k\frac{{{q_A}}}{{{x^2}}} = k\frac{{{q_B}}}{{{{\left( {AB - x} \right)}^2}}}\) Soit \(\frac{{\left( {AB - x} \right)}}{x} = \frac{{AB}}{x} - 1 = \pm \sqrt {\frac{{{q_B}}}{{{q_A}}}} \). \[x = \frac{{AB}}{{1 + \sqrt {\frac{{{q_B}}}{{{q_A}}}} }}\] \(x = 10{\rm{ }}cm\)
La sphère va se déplacer vers B.

CORRECTION III Forces et champs

CORRECTION IV Forces et champs

CORRECTION IV Forces et champs

Correction exercice IV
1. On appelle satellite de la terre tout astre ou engin spatial qui gravite autour de la terre.
N.B : Les astres sont des satellites naturels alors que les engins sont des satellites artificiels
2) Expression de l’altitude \({h_n}\) à la fin du nième tour
\({h_1} = {h_0} - \frac{1}{{10000}}{h_0}\) \( = 9999 \times {10^{ - 4}}{h_0}\)
\({h_2} = {\left( {9999 \times {{10}^{ - 4}}} \right)^2}{h_0}\)
Nous obtenons la relation de récurrence
\({h_n} = {\left( {9999 \times {{10}^{ - 4}}} \right)^n}{h_0}\)
Elle est de la forme \({h_n} = {q^n}{h_0}\). Ces altitudes forment une suite géométrique de raison \({q = 9999 \times {{10}^{ - 4}}}\)
3) Intensité du champ de gravitation au centre du satellite à la fin du 10ième tour
\(g = G\frac{{{M_T}}}{{\left( {{R_T} + {h_{10}}} \right)}}\) avec \({h_{10}} = {q^{10}}{h_0}\)
AN : \(g = 0,126\) m/s²
4) Nombre de tours au bout duquel le satellite devient géostationnaire
\({h_n} = {h_s} \Rightarrow \) \({q^n}{h_0} = {h_s}\)
\(\ln \left( {{q^n}{h_0}} \right) = \ln \left( {{h_s}} \right)\)
\(n = \frac{{\ln {h_s} - \ln {h_0}}}{{\ln q}}\)
AN : n = 3285 tours
5) Variation de la force d’attraction gravitationnelle
Nommons \(\overrightarrow {{F_1}} \) et \(\overrightarrow {{F_2}} \) les forces d’attraction gravitationnelle aux altitudes \({{h_0}}\) et \({{h_s}}\) respectivement :
\({F_1} = G\frac{{{M_T}{M_0}}}{{{{\left( {{R_T} + {h_0}} \right)}^2}}}\) et \({F_2} = G\frac{{{M_T}{M_0}}}{{{{\left( {{R_T} + {h_s}} \right)}^2}}}\)
\(\Delta F = {F_2} - {F_1}\) \( = G{M_T}{M_0}\) \(\left( {\frac{1}{{{{\left( {{R_T} + {h_0}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {{R_T} + {h_s}} \right)}^2}}}} \right)\)
AN : \(\Delta F = - 3,47 \times {10^4}N\)
6.1) Intensité du champ de gravitation terrestre au centre du satellite à la fin du nième tour
\({g_n} = G\frac{{{M_T}}}{{{{\left( {{R_T} + {h_n}} \right)}^2}}}\) \( = G\frac{{{M_T}}}{{{{\left( {{R_T} + {q^n}{h_0}} \right)}^2}}}\)
Déduisons-en l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle à laquelle est soumise le satellite à l’altitude \({h_s}\)
\(F = {M_n}{g_n}\) avec \({M_n} = q_0^n{m_0}\)
A l’altitude \({{h_s}}\), nous avons
\(F = q_0^n{m_0}G\) \(\frac{{{M_G}}}{{{{\left( {{R_T} + hs} \right)}^2}}}\)

CORRECTION V Forces et champs

CORRECTION V Forces et champs

Exercice V

Caractéristiques du vecteur \(\overrightarrow E \)
- Point d’application: le point O
- Direction: horizontale
- Sens : De la droite vers la gauche
- Module: \(\overrightarrow E = {\overrightarrow E _1} + {\overrightarrow E _2}\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow E _1} = {\overrightarrow E _A} + {\overrightarrow E _D}\\{\overrightarrow E _2} = {\overrightarrow E _C} + {\overrightarrow E _B}\end{array} \right.\) \(E_1^2 = E_A^2 + E_B^2 + 2{E_A}{E_B}\cos (\widehat {{{\overrightarrow E }_A};{{\overrightarrow E }_B}})\)\( = E_A^2 + E_B^2 + 2{E_A}{E_B}\cos ({90^0})\)\( = E_A^2 + E_B^2 = 2.E_A^2\) \({E_1} = \sqrt 2 .{E_A}\) \(E = {E_1} + {E_2} = 2\sqrt 2 .{E_A}\) et \({E_2} = \sqrt 2 .{E_A}\). \(O{A^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{2}\) \[E = 4\sqrt 2 .k\frac{{\left| {{q_A}} \right|}}{{A{B^2}}}\] \(E = 2,54 \times {10^3}{\rm{V/m}}\)
2. Caractéristiques de la force qui s’exerce sur la charge Q
- Point d’application: le point O
- Direction: horizontale
- Sens : De la gauche vers la droite ( Charge étant négative )
- Module: \[F = \left| Q \right|E = 1,27 \times {10^{ - 5}}N\]