CORRECTION I Généralités sur les systèmes oscillants.

Exercice I

1. Le graphe de la figure 1 n’a pas une période constante, en effet: T₁=1,4s, T₂=0,6s, ...Ainsi, cette fonction n’est pas périodique: ce n’est pas un oscillateur.
Le graphe de la figure 2 a une période constante.La période des oscillation est T=2s.
Sa fréquence : $$f = \frac{1}{T} = 0,5Hz$$
Sa pulsation : $$\omega = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f$$   $\omega = \pi$ rad/s
Son amplitude est donnée par x_m=2 cm
Sa phase à l’instant initial, admettons que la fonction soit de la forme: $x(t) = 2\sin (\omega t + \rho )$
Ainsi: À t=0s, x(0)=2cm, nous avons dont $2 = 2\sin (\rho )$ $$1 = 1\sin (\rho ) \Rightarrow \rho = \frac{\pi }{2}$$  
Sa phase à l’instant t est: $$\psi (t) = \pi t + \frac{\pi }{2}$$ Son unité est le radian
Son équation horaire est: $$x(t) = 2\sin (\pi t + \frac{\pi }{2})$$
2.a) Soient les fonctions ${u_1}(t) = 4\sin (\omega t + \frac{\pi }{6})$ et ${u_2}(t) = 5\cos (\omega .t + \frac{\pi }{6})$ $= 5\sin (\omega .t + \frac{{2.\pi }}{3})$
Soient: ${\psi _1} = \omega .t + \frac{\pi }{6}$ et ${\psi _{\rm{2}}} = \omega .t + \frac{{2\pi }}{3}$
les phases respectives des deux fonctions. Le déphasage est donné par: $$\Delta \varphi = \left| {{\psi _{\rm{2}}} - {\psi _1}} \right| = \frac{\pi }{2}$$
Les deux fonctions sont en quadrature de phase.
2.b) Les vecteurs de Fresnel associés à ces fonctions sont: $\overrightarrow {{U_1}} \left[ {4,\frac{\pi }{6}} \right]{\rm{ }}$ et $\overrightarrow {{U_2}} \left[ {5,\frac{{2.\pi }}{3}} \right]$Caractéristiques du vecteur résultant: $\tan \left( \psi \right) = \frac{{4 + 5\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 - 5}}$ soit $$\psi = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{4 + 5\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 - 5}}} \right)$$  $\psi = 1,42$ rad  et $\gamma = \sqrt {{2^2} + {{(2,5)}^2}} = 3,2$ cm
3.a) La vitesse de rotation, définie en tours par seconde peut également être considérée comme fréquence du ventilateur.
3.b) Les 4 pales étant régulièrement espacées, lorsque le ventilateur effectue un quart de tour, une pale prend la place de celle qui la suit, on retrouve dont l’aspect initial.
Pour fe=36Hz $$T = \frac{{Te}}{3} \Rightarrow f = 3f$$    $T = 36$ Hz
Les pales du ventilateur paraissent immobile.