Exercice I
1. Le graphe de la figure 1 n’a pas une période constante, en effet: T1=1,4s, T2=0,6s, ...
Ainsi, cette fonction n’est pas périodique: ce n’est pas un oscillateur.
Le graphe de la figure 2 a une période constante.
La période des oscillation est T=2s.
Sa fréquence : \[f = \frac{1}{T} = 0,5Hz\]
Sa pulsation : \[\omega = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f\] \(\omega = \pi \) rad/s
Son amplitude est donnée par xm=2 cm
Sa phase à l’instant initial, admettons que la fonction soit de la forme: \(x(t) = 2\sin (\omega t + \rho )\)
Ainsi: À t=0s, x(0)=2cm, nous avons dont \(2 = 2\sin (\rho )\) \[1 = 1\sin (\rho ) \Rightarrow \rho = \frac{\pi }{2}\]
Sa phase à l’instant t est: \[\psi (t) = \pi t + \frac{\pi }{2}\] Son unité est le radian
Son équation horaire est: \[x(t) = 2\sin (\pi t + \frac{\pi }{2})\]
2.a) Soient les fonctions \({u_1}(t) = 4\sin (\omega t + \frac{\pi }{6})\) et \({u_2}(t) = 5\cos (\omega .t + \frac{\pi }{6})\) \( = 5\sin (\omega .t + \frac{{2.\pi }}{3})\)
Soient: \({\psi _1} = \omega .t + \frac{\pi }{6}\) et \({\psi _{\rm{2}}} = \omega .t + \frac{{2\pi }}{3}\)
les phases respectives des deux fonctions. Le déphasage est donné par: \[\Delta \varphi = \left| {{\psi _{\rm{2}}} - {\psi _1}} \right| = \frac{\pi }{2}\]
Les deux fonctions sont en quadrature de phase.
2.b) Les vecteurs de Fresnel associés à ces fonctions sont: \(\overrightarrow {{U_1}} \left[ {4,\frac{\pi }{6}} \right]{\rm{ }}\) et \(\overrightarrow {{U_2}} \left[ {5,\frac{{2.\pi }}{3}} \right]\)
Caractéristiques du vecteur résultant: \(\tan \left( \psi \right) = \frac{{4 + 5\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 - 5}}\) soit \[\psi = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{4 + 5\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 - 5}}} \right)\] \(\psi = 1,42\) rad et \(\gamma = \sqrt {{2^2} + {{(2,5)}^2}} = 3,2\) cm
3.a) La vitesse de rotation, définie en tours par seconde peut également être considérée comme fréquence du ventilateur.
3.b) Les 4 pales étant régulièrement espacées, lorsque le ventilateur effectue un quart de tour, une pale prend la place de celle qui la suit, on retrouve dont l’aspect initial.
Pour fe=36Hz \[T = \frac{{Te}}{3} \Rightarrow f = 3f\] \(T = 36\) Hz
Les pales du ventilateur paraissent immobile.
Exercice II
Ainsi, le décalage horaire est: \(\tau = 0,5s\) et la période T=2s. \(\tau = \frac{{\Delta \psi }}{\omega } = 0,5.s\)\( \Rightarrow \Delta \psi = 2\pi \frac{\tau }{T}\) \[\Delta \psi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right| = 2\pi \frac{{0,5}}{2} = \frac{\pi }{2}{\rm{.rad}}\]
La fonction y1 est avance de phase de \(\frac{\pi }{2}\) sur la fonction y2. car selon l'oscillogramme y1 atteint son maximum, son minimum et s'annule avant y2
Exercice VI
La période des oscillations tient sur 4 divisions, ainsi: \[\left. \begin{array}{l}5ms \to 1div\\T \to 4div\end{array} \right\} \Rightarrow T = 20ms = 0,02s\]
L’amplitude maximale est représentée sur 3 divisions, ainsi: \[\left. \begin{array}{l}{\rm{2V}} \to 1div\\{x_m} \to 2div\end{array} \right\} \Rightarrow {x_m} = 4{\rm{V}}\]
