Notion d’oscillateur mécanique Le pendule simple

I. Notion d’oscillateur mécanique

I.1. Définition

On appelle oscillateur (ou système oscillant) un système pouvant évoluer, du fait de ses caractéristiques propres, de façon périodique et alternative autour d’une position d’équilibre.

Exemple : suspension de voiture, balançoire.

I.2. Caractérisation des oscillateurs mécaniques

La grandeur oscillante intervenant dans les équations est ici l’écart à l’équilibre. C’est une grandeur algébrique. Cet écart est en général repéré :
– soit par l’abscisse rectiligne $x(t)$ dans le cas d’une oscillation rectiligne, système solide-ressort.
– soit par l’abscisse angulaire θ(t) dans le cas d’une oscillation circulaire, système pendulaire.
La valeur positive extrême (ou maximale) prise par $x(t)$ et θ(t) définit l’amplitude de l’oscillation.

I.3 Le pendule simple

NB : La vitesse du solide de masse $m$ est nulle au point A

C’est un solide de masse $m$, de petites dimensions accroché à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l très grande devant les dimensions du solide.
Il faut noter également que le moment d’inertie du pendule simple par rapport à son axe de rotation est donné par : ${J_\Delta } = m{l^2}$

- Etude dynamique

Ecarté de sa position d’équilibre et lâché sans vitesse initiale, il effectue des oscillations autour de sa position d’équilibre stable.
Il est soumis à l’action du poids et à la tension du fil.
Supposons le référentiel d’étude galiléen et appliquons le TCI dans la base de Frenet $(G;\overrightarrow n ,\overrightarrow \tau )$

$\overrightarrow P \left( \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right)$ $+ \overrightarrow T \left( \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right) =$ $m\overrightarrow {{a_G}} \left( \begin{array}{l}\frac{{{v^2}}}{l}\\l\ddot \theta \end{array} \right)$$\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} - mg\cos (\theta ) + T = ml{{\dot \theta }^2}\\ - mg\sin (\theta ) + 0 = ml\ddot \theta \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}T = mg\cos (\theta ) + ml{{\dot \theta }^2}{\rm{ (1)}}\\\ddot \theta + \frac{g}{l}\sin (\theta ) = 0{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Un oscillateur est dit harmonique lorsque l’équation horaire régissant ses oscillations est de la forme : $\theta (t) = {\theta _{\max }}\sin (\omega t + \varphi )$ et l’équation différentielle réguisant ses oscillations de la forme : $\ddot \theta + {\omega _0}\theta = 0{\rm{ }}$

De la relation (2), il est aisé de dire que le pendule simple n’est par un oscillateur harmonique.
Pour des amplitudes faibles; i.e. $\sin (\theta ) \approx \theta$, Nous avons : $\ddot \theta + \frac{g}{l}\theta = 0$ qui est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω_{0 :} $$\omega _0^2 = \frac{g}{l}$$
La solution de l’équation précédente est de la forme $\theta (t) = {\theta _{\max }}\sin (\omega t + \varphi )$ avec θ_max et φ dépendent des conditions initiales de l’expérience. Sa pulsation est : ${\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{l}}$ etla période des oscillations : $${T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}$$
Évaluons la vitesse de ce pendule au cours de son mouvement.
D’après le théorème de l’énergie cinétique entre A et M,

${E_{{C_M}}} - {E_{{C_A}}} =$ $W(\overrightarrow P ) + W(\overrightarrow T )$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}mv_M^2 =$ $- mg({z_M} - {z_A})$. ${E_{{C_M}}} = - mg((l - l\cos (\theta ))$ $- (l - l\cos ({\theta _{\max }})))$,  ${E_{{C_M}}} = mgl(\cos (\theta )$ $- \cos ({\theta _{\max }}))$

Soit : $v_M^2 = 2gl(\cos (\theta )$ $- \cos ({\theta _{\max }}))$

Nous pouvons ainsi déterminer l’intensité de la tension de la corde au point M. en effet :

${T_M} = mg\cos (\theta )$ $+ m\frac{{v_M^2}}{l}$ $= mg[3\cos (\theta )$ $- 2\cos ({\theta _{\max }})]$

Avec : $v_M^2 = 2gl(\cos (\theta )$ $- \cos ({\theta _{\max }}))$

-Etude énergétique

Au point A,

L’énergie mécanique est égale à l’énergie potentielle de pesanteur du solide.

${E_m}(A) = {E_{pp}}(A)$ $= mgl(1 - \cos ({\theta _{\max }}))$ $\approx \frac{1}{2}mgl\theta _{\max }^2$

Au point M :

${E_m}(M) = \frac{1}{2}{J_\Delta }{{\dot \theta }^2}$ $+ mgl(1 - \cos (\theta ))$ $\approx \frac{1}{2}mgl\theta _{\max }^2$
À démontrer vous pouvez poser la question sur le forum du site si vous ne parvenez pas à le faire.
E_m (A)=E_m (M)
Il y a conservation de l’énergie mécanique du système pour des angles faibles.
La période propre T_o d'un oscillateur correspond à la période de ses oscillations libres en l'absence d'amortissement.