Exercices I
1. Représentons les forces appliquées aux solides.
2. Expression des composantes du vecteur accélération dans la base de Frenet
\(\overrightarrow {{a_G}} = \frac{{dv}}{{dt}}\overrightarrow \tau \) \( + \frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow n \)
r représente le rayon du cercle décrit par le centre de gravite de la masse m soit L r = L.
3. Expression de la vitesse v \(v = L.\dot \theta \)
Soit : \(\frac{{dv}}{{dt}} = L.\frac{{d\dot \theta }}{{dt}}\)\( = L.\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\)
4. Appliquons le théorème de l’énergie cinétique sur le solide de masse m dans le base de Frenet. \[\overrightarrow P + \overrightarrow T = m\overrightarrow {{a_G}} \]
\(\overrightarrow P \left( \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right)\) \( + \overrightarrow T \left( \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right) = \) \(m\overrightarrow {{a_G}} \left( \begin{array}{l}\frac{{{v^2}}}{L}\\L\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\end{array} \right)\) \[\left\{ \begin{array}{l} - mg\cos (\theta ) + T = ml{{\dot \theta }^2}{\rm{\_(1)}}\\ - mg\sin (\theta ) + 0 = ml\ddot \theta \_{\rm{(2)}}\end{array} \right.\]
De la deuxième équation , nous avons : \[\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{l}\sin (\theta ) = 0{\rm{ }}\]
6. Expression de la période propre des oscillations.
\({\omega _0} = \sqrt {\frac{L}{g}} \) \( = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}} \Rightarrow \) \({T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{g}{L}} \)
7. De la relation 1 précédente, on a : \(T = mg\cos (\theta )\) \( + mL{\left( {\frac{{d\theta }}{{dt}}} \right)^2}\)
Exercice II
1. Le pendule étant considéré comme oscillateur harmonique, de période T0 et d’amplitude maximale \({\theta _{\max }}\), on a :
\(\theta (t) = {\theta _{\max }}\)\(\sin (\frac{{2\pi }}{{{T_0}}}t + \varphi )\)
à t=0, \({\theta _0} = {\theta _{\max }} = {30^0}\) \( = 0,52rad\)
En effet :
\(\left. \begin{array}{c}2\pi {\rm{rad}} \to {360^0}\\x \to {30^0}\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow x = \frac{{2.\pi {{.30}^0}}}{{{{360}^0}}}\) \( = 0,52{\rm{rad}}\) ainsi: \(t = 0,\) \({\theta _{\max }} = \)\({\theta _{\max }}\sin (\varphi )\) soit \(\sin (\varphi ) = 1{\rm{ }}\) \( \Rightarrow \) \({\rm{ }}\varphi = \frac{\pi }{2}\) ainsi : \({\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{L}} = 3,5{\rm{rad/s}}\) \(\theta (t) = \) \(0,523\sin (3,5.t + \frac{\pi }{2})\)
Expression de la vitesse angulaire
\(\dot \theta (t) = \frac{{d\theta (t)}}{{dt}}\) \( = 0,52 \times 3,5\)\(\cos ({\omega _0}t + \frac{\pi }{2})\) \( = 1,82\cos ({\omega _0}t + \frac{\pi }{2})\)
2. Traçons dans un même repère θ(t) et \(\dot \theta (t)\)
3. Expression de l’énergie cinétique
\({E_C} = \frac{1}{2}m{v^2}\) \( = \frac{1}{2}m{L^2}{{\dot \theta }^2}\) \( = 0,21{\sin ^2}(3,5.t)\)
L'énergie mécanique se conserve: à t=0s ,
\({E_m}(t) = {E_{pp}}(0)\) \( = mgL(1 - \cos ({\theta _0}))\) \( = 0,21{\rm{ J}}\)
Au départ l'énergie mécanique est égale à l’ énergie potentielle de pesanteur :
\({E_m}(t) = {E_C}(t)\) \( + {E_{pp}}(t) = {E_{pp}}(0)\) \( \Rightarrow \) \({E_{pp}}(t) = {E_{PP}}(0)\) \( - {E_C}(t)\) \( \Leftrightarrow \) \({E_{pp}}(t) = 0,21(1\) \( - {\sin ^2}(3,5.t))\)
3. Tracer dans un même repère Ec et Ep.
4.La période de la fonction \({\sin ^2}(x)\) est la moitié de la période de la fonction sin (x).
Exercice IV
1. Les périodes sont, après lecture des graphes T1=1,2 s et T2 = 1,4 s.
Les amplitudes angulaires sont : pour la courbe 1 \({\alpha _0} = 0,1rad\) et pour la courbe 2 \({\alpha _0} = 1,5rad\).
2. Pour qu’un pendule se comporte comme un oscillateur harmonique, il faut que: \(\sin (\theta ) = \theta \) et \(\cos (\theta ) = 1 - \frac{{{\theta ^2}}}{2}{\rm{ }}\)
Ainsi : \(\sin (0,1) = 0,099\) \( \approx 0,1{\rm{ }}\) et \(\sin (1,5) = 0,99\)\( \ne 1,5\)
Le pendule étudié se comporte, comme un oscillateur harmonique pour \({\alpha _0} = 0,1rad\).
Étude théorique :
1. Représentons les forces qui s'exercent sur la petite boule fixée au fil.
2. Le travail de la tension est nulle parce que sa droite d’action passe par l’axe de rotation.
Le travail du poids est :
\(W(\overrightarrow P ) = \) \( - mg({z_G} - {z_{G0}})\)\( = mg(L - L\cos ({\alpha _0})\) \( - L + L\cos (\alpha ))\) \( = mgL(\cos (\alpha )\) \( - \cos ({\alpha _0}))\)
\(W(\overrightarrow P ) = mgL(\cos (\alpha )\) \( - \cos ({\alpha _0}))\)
La variation de l'énergie cinétique est égale aux travaux des forces extérieurs agissant sur le solide pendant la durée de cette variation.
L'énergie cinétique initiale étant nulle.
\(\frac{1}{2}mv_G^2 - 0 = \) \(W(\overrightarrow P ) + W(\overrightarrow T )\) \( = mgL(\cos (\alpha )\) \( - \cos ({\alpha _0}))\) ainsi : \(v_G^2 = 2gL(\cos (\alpha )\)\( - \cos ({\alpha _0}))\)
soit \({\dot \alpha ^2} = {\left( {\frac{{d\alpha }}{{dt}}} \right)^2}\) \( = 2\frac{g}{L}(\cos (\alpha )\) \( - \cos ({\alpha _0}))\)
3. Équation différentielle régissant les oscillations du pendule
\(\frac{{d{{(\dot \alpha )}^2}}}{{dt}} = \) \(2\dot \alpha \frac{{d\dot \alpha }}{{dt}} = \) \(2\dot \alpha \ddot \alpha \) \( = 2\frac{g}{L}\frac{{d\cos (\alpha )}}{{dt}}\) \( = - 2\dot \alpha \frac{g}{L}\sin (\alpha )\) ainsi: \(2\dot \alpha \ddot \alpha = \) \( - 2\dot \alpha \frac{g}{L}\sin (\alpha )\) \[\ddot \alpha + \frac{g}{L}\sin (\alpha ) = 0\]
si l'angle est petit, on peut assimiler le sinus de l'angle à la mesure de l'angle en radian. \(\sin (\alpha ) \approx \alpha \)
Nous avons dont l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique. \[\ddot \alpha + \frac{g}{L}\alpha = 0\] de pulsation propre : \({\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{L}} \) et de période : \({T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} \)
si \({\alpha _0} = 0,1rad\) alors \(\sin ({\alpha _0}) = 0,0997\)
\(\sin (0,1)\) voisin de 0,1 rad; l'approximation est possible et le pendule dans ce cas se comporte comme un oscillateur harmonique
si α0 = 1,5 rad alors sin(α0) = 0,997, sin(1,5) est différent de 0,997 rad; l'approximation n'est pas possible et le pendule dans ce cas ne se comporte pas comme un oscillateur harmonique.
