Correction des exercices sur le pendule simple

Correction I Le pendule simple

Exercices I

1. Représentons les forces appliquées aux solides.
2. Expression des composantes du vecteur accélération dans la base de Frenet
$\overrightarrow {{a_G}} = \frac{{dv}}{{dt}}\overrightarrow \tau$ $+ \frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow n$
r représente le rayon du cercle décrit par le centre de gravite de la masse m soit L    r = L.
3. Expression de la vitesse v     $v = L.\dot \theta$
Soit : $\frac{{dv}}{{dt}} = L.\frac{{d\dot \theta }}{{dt}}$ $= L.\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}$
4. Appliquons le théorème de l’énergie cinétique sur le solide de masse m dans le base de Frenet. $\overrightarrow P + \overrightarrow T = m\overrightarrow {{a_G}}$
$\overrightarrow P \left( \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right)$ $+ \overrightarrow T \left( \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right) =$ $m\overrightarrow {{a_G}} \left( \begin{array}{l}\frac{{{v^2}}}{L}\\L\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\end{array} \right)$      $\left\{ \begin{array}{l} - mg\cos (\theta ) + T = ml{{\dot \theta }^2}{\rm{\_(1)}}\\ - mg\sin (\theta ) + 0 = ml\ddot \theta \_{\rm{(2)}}\end{array} \right.$
De la deuxième équation , nous avons : $\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{l}\sin (\theta ) = 0{\rm{ }}$
6. Expression de la période propre des oscillations.
${\omega _0} = \sqrt {\frac{L}{g}}$ $= \frac{{2\pi }}{{{T_0}}} \Rightarrow$ ${T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{g}{L}}$
7. De la relation 1 précédente, on a : $T = mg\cos (\theta )$ $+ mL{\left( {\frac{{d\theta }}{{dt}}} \right)^2}$

Correction II Le pendule simple

Correction III Le pendule simple

Correction IV Le pendule simple

Correction IV Le pendule simple

Exercice IV

1. Les périodes sont, après lecture des graphes T₁=1,2 s et T₂ = 1,4 s.
Les amplitudes angulaires sont : pour la courbe 1 ${\alpha _0} = 0,1rad$ et pour la courbe 2 ${\alpha _0} = 1,5rad$ .
2. Pour qu’un pendule se comporte comme un oscillateur harmonique, il faut que: $\sin (\theta ) = \theta$ et $\cos (\theta ) = 1 - \frac{{{\theta ^2}}}{2}{\rm{ }}$
Ainsi : $\sin (0,1) = 0,099$ $\approx 0,1{\rm{ }}$ et $\sin (1,5) = 0,99$ $\ne 1,5$
Le pendule étudié se comporte, comme un oscillateur harmonique pour ${\alpha _0} = 0,1rad$ .
Étude théorique :
1. Représentons les forces qui s'exercent sur la petite boule fixée au fil.
2. Le travail de la tension est nulle parce que sa droite d’action passe par l’axe de rotation.
Le travail du poids est :
$W(\overrightarrow P ) =$ $- mg({z_G} - {z_{G0}})$ $= mg(L - L\cos ({\alpha _0})$ $- L + L\cos (\alpha ))$ $= mgL(\cos (\alpha )$ $- \cos ({\alpha _0}))$
$W(\overrightarrow P ) = mgL(\cos (\alpha )$ $- \cos ({\alpha _0}))$
La variation de l'énergie cinétique est égale aux travaux des forces extérieurs agissant sur le solide pendant la durée de cette variation.
L'énergie cinétique initiale étant nulle.
$\frac{1}{2}mv_G^2 - 0 =$ $W(\overrightarrow P ) + W(\overrightarrow T )$ $= mgL(\cos (\alpha )$ $- \cos ({\alpha _0}))$ ainsi : $v_G^2 = 2gL(\cos (\alpha )$ $- \cos ({\alpha _0}))$
soit ${\dot \alpha ^2} = {\left( {\frac{{d\alpha }}{{dt}}} \right)^2}$ $= 2\frac{g}{L}(\cos (\alpha )$ $- \cos ({\alpha _0}))$
3. Équation différentielle régissant les oscillations du pendule
$\frac{{d{{(\dot \alpha )}^2}}}{{dt}} =$ $2\dot \alpha \frac{{d\dot \alpha }}{{dt}} =$ $2\dot \alpha \ddot \alpha$ $= 2\frac{g}{L}\frac{{d\cos (\alpha )}}{{dt}}$ $= - 2\dot \alpha \frac{g}{L}\sin (\alpha )$ ainsi: $2\dot \alpha \ddot \alpha =$ $- 2\dot \alpha \frac{g}{L}\sin (\alpha )$ $\ddot \alpha + \frac{g}{L}\sin (\alpha ) = 0$
si l'angle est petit, on peut assimiler le sinus de l'angle à la mesure de l'angle en radian. $\sin (\alpha ) \approx \alpha$
Nous avons dont l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique. $\ddot \alpha + \frac{g}{L}\alpha = 0$ de pulsation propre : ${\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{L}}$ et de période : ${T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}}$
si ${\alpha _0} = 0,1rad$ alors $\sin ({\alpha _0}) = 0,0997$
$\sin (0,1)$ voisin de 0,1 rad; l'approximation est possible et le pendule dans ce cas se comporte comme un oscillateur harmonique
si α₀ = 1,5 rad alors sin(α₀₎ = 0,997, sin(1,5) est différent de 0,997 rad; l'approximation n'est pas possible et le pendule dans ce cas ne se comporte pas comme un oscillateur harmonique.

Correction V Le pendule simple

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