Correction exercice I

a) A et B se produisent, il s’agit ici de la conjonction de A et de B, par conséquent, on a : $A \cap B$ ;
b) A se produit seul, donc B et C ne se produisent pas, il s’agit alors de la conjonction de A, $\overline B$ et $\overline C$ ou $\overline B$ et $\overline C$ sont les évènements contraires de B et C respectivement. Ainsi : $A \cap \overline B \cap \overline C$ ;
c) A et B se produissent et non C. il s’agit de la conjonction de A, B et $\overline C$
$A \cap B \cap \overline C$
d) Au moins l’un des trois évènements se produit, il s’agit de l’union de ces trois évènements :
$A \cup B \cup C$
e) Au moins deux des trois evenements se produissent, il s’agit de $A \cap B$, $A \cap C$ et $B \cap C$, ainsi $A \cap B \cup B$ $\cap C \cup C \cap A$ ;
f) Exactement 2 des 3 évènements se produisent, il s’agit de l’union des évènements $A \cap B \cap \overline C$, $A \cap \overline B \cap C$ et $\overline A \cap B \cap C$
$\left( {\overline A \cap B \cap C} \right) \cup$ $\left( {A \cap \overline B \cap C} \right) \cup$ $\left( {A \cap B \cap \overline C } \right)$;
g) Aucun de ces evenements ne se produit, il s’agit de la conjonction des évènements ${\overline A }$, ${\overline B }$ et ${\overline C }$
$\overline A \cap \overline B \cap \overline C$

Correction exercice II

Déterminons les probabilités de évènements élémentaires dans l’univers $A = \left\{ {a,b,c,d} \right\}$ sachant que :
• $P(\{ a,b,c\} ) = \frac{1}{2}$ ;
• $P(\{ a,b,d\} ) = \frac{2}{3}$ ;
• $P(\{ b,c\} ) = \frac{10}{21}$.
Pour déterminer ces probabilités, notons de prime abord que :
$P(\{ a,b,c\} ) =$ $P(\{ a\} ) + P(\{ b\} ) +$ $P(\{ c\} ) = \frac{1}{2}$

$P(\{ a,b,d\} ) = P(\{ a\} )$ $+ P(\{ b\} ) + P(\{ d\} )$ $= \frac{2}{3}$
$P(\{ b,c\} ) = P(\{ b\} ) +$ $P(\{ c\} ) = \frac{{10}}{{21}}$
$P(A) = P(\{ a\} ) + P(\{ b\} )$ $+ P(\{ c\} ) + P(\{ d\} )$ $= 1$
En résolvant ce système d’équation, nous avons :
$P(\{ a\} ) = \frac{1}{{42}}$, $P(\{ b\} ) = \frac{1}{7}$, $P(\{ c\} ) = \frac{1}{3}$ et $P(\{ d\} ) = \frac{1}{2}$