Contenu 1
Travail d'une force et moment d'inertie
EXERCICE 1
A– Calcule de l’énergie cinétique de la flèche.
m=60 10-3 g, v=50m/s \({E_C} = \frac{1}{2}m{v^2}\) AN : \({E_C} = \)\(\frac{1}{2}.60 \times {10^{ - 3}}{(50)^2} = \)\(75J\)
B– Calcule de l’énergie cinétique du camion :
m=10 t =10 103 kg et v=16,67m/s. \(60km/h = \) \(60\frac{{km}}{h} = \) \(60\frac{{1000{\rm{ m}}}}{{3600{\rm{ s}}}} = \) \(16,67m/s\) \({E_C} = \) \(\frac{1}{2}10 \times {10^3}{(16,67)^2} = \) \(1,39 \times {10^7}J\)
C– Calcule du moment d’inertie d’un disque plein
m=350 10-3 kg r=12 10-2 m \({J_\Delta } = \frac{1}{2}m{R^2}\) \({J_\Delta } = \)\(\frac{1}{2}350 \times {10^{ - 3}}\) \({(12 \times {10^{ - 2}})^2}\)\( = 2,5 \times {10^{ - 3}}{\rm{ kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)
D– Calcule du moment d’inertie d’une sphère pleine \({J_\Delta } = \frac{2}{5}m{R^2}\) \({J_\Delta } = \) \(\frac{2}{5}.10 \times {10^{ - 3}}{(25 \times {10^{ - 2}})^2}\) \( = 2,5 \times {10^{ - 4}}{\rm{ kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)
E– Calcule de l’énergie cinétique du volant :
m=100kg N=3trs/s R=0,5m. Le volant a la forme d’une jante, alors \({J_\Delta } = m{R^2}\) et sa vitesse angulaire est donnée par: \(\omega = 2\pi N\). L’énergie cinétique est alors:
\({E_{CR}} = \frac{1}{2}{J_\Delta }{\omega ^2}\)\( = \frac{1}{2}m{R^2}{(2\pi N)^2}\) \( = 2{\pi ^2}m{R^2}{N^2}\) \({E_{CR}} = 4,44 \times {10^3}J\)
F-1 Comparaison:
| Choc mou | Choc élastique | |
| Quantité de mouvement | conservée | conservée |
| Énergie cinétique | pas conservée | conservée |
F-2. Évaluons les pertes d’énergie lors d’un choc mou.
Avant le choc, \(\overrightarrow {{P_1}} = {m_1}\overrightarrow {{v_1}} \) et \(\overrightarrow {{P_2}} = \overrightarrow 0 \) Soit \(\overrightarrow {{P_{av}}} = \overrightarrow {{P_1}} + \overrightarrow {{P_2}} = {m_1}\overrightarrow {{v_1}} \) et \({E_{{C_{av}}}} = \frac{1}{2}{m_1}v_1^2\).
Apres le choc, \(\overrightarrow {{P_{ap}}} = ({m_1} + {m_2})\overrightarrow v \) et \({E_{{C_{ap}}}} = \frac{1}{2}({m_1} + {m_2}){v^2}\)
Choc mou:
conservation de la quantité de mouvement
\(\overrightarrow {{P_{av}}} = \overrightarrow {{P_{ap}}} \) \( \Leftrightarrow {m_1}\overrightarrow {{v_1}} = \) \(({m_1} + {m_2})\overrightarrow v \) En projetant cette relation dans la direction de vecteur \(\overrightarrow {{v_1}} \) On a:
\({m_1}{v_1} = ({m_1} + {m_2})v\) \( \Rightarrow v = \frac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}{v_1}{\rm{ }}\) \({\rm{(1)}}\)
Pas conservation de l’énergie cinétique
Les pertes d’énergie seront donc cette différence entre l’énergie cinétique de l’ensemble des deux solides avant le choc et après le choc.
\(\Delta {E_C} = {E_{Cav}} - {E_{Cap}}\) \( = \frac{1}{2}{m_1}v_1^2 - \) \(\frac{1}{2}({m_1} + {m_2}){v^2}{\rm{ }}\) \({\rm{(2)}}\)
(1) dans ( 2)conduit à: \(\Delta {E_C} = \) \(\frac{1}{2}{m_1}v_1^2(1 - \frac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}})\) \(\Delta {E_C} = 31,25j\)
F-3– Ces pertes d’énergie sont dues à:
La déformation du système:
La production de la chaleur (énergie calorifique)
La production du son. (énergie sonore)
La production de la lumière (étincelle).
Contenu 2
Théorème de l’énergie cinétique et applications
EXERCICE I
EXERCICE 1
Données: m = 900 Kg; VA= 0; Vf = VB = 40Km/h; AB = 50 m, f=150N.g=10N/kg \(\sin (\alpha ) = \frac{2}{{100}}\)
1– Calcule de l’intensité de la force motrice.
D’après le théorème de l’énergie cinétique:
\(\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2\) \( = {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P )\) \( + {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow R )\) \( + {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow F )\) \( = \overrightarrow P .\overrightarrow {AB} + \) \(\overrightarrow R .\overrightarrow {AB} + \) \(\overrightarrow F .\overrightarrow {AB} \) \( = \overrightarrow P .\overrightarrow {AB} + \) \((\overrightarrow f + \overrightarrow {{R_N}} ).\overrightarrow {AB} \) \( + \overrightarrow F .\overrightarrow {AB} \)
\(\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2\) \( = \overrightarrow P .\overrightarrow {AB} + \) \(\overrightarrow f .\overrightarrow {AB} + \) \(\overrightarrow {{R_N}} .\overrightarrow {AB} + \) \(\overrightarrow F .\overrightarrow {AB} \) \( = - mgAB\sin (\alpha )\) \( - fAB\) \( + 0\) \( + F.AB\)
\({\rm{ }}F = \frac{{mv_B^2}}{{2AB}}\) \( + mg\sin (\alpha )\) \( + f\) \(F = 1440N\)
En remplaçant l’automobile par une sphère, l’énergie cinétique devient la somme de son énergie cinétique de translation et de son énergie cinétique de rotation.
\({E_C} = \frac{1}{2}m{v^2}\) \( + \frac{1}{2}{J_\Delta }{\omega ^2}\), \({\rm{ }}{J_\Delta } = \frac{2}{5}m{R^2}\) et \(\omega = \frac{v}{R}\) Soit \({E_C} = \frac{7}{{10}}m{v^2}\)
D’après le TEC
\(\frac{7}{{10}}mv_B^2\) \( - \frac{7}{{10}}mv_A^2 = \) \( - mgAB\sin (\alpha )\) \( - AB.f\) \( + AB.F\)
\(F = \) \(\frac{7}{{10.AB}}mv_B^2\) \( + mg\sin (\alpha )\) \( + f\) \(F = 1885,5N\)
EXERCICE 2
La trajectoire de la bille est ici un arc de cercle. Le poids est un force motrice et son travail dépend seulement de la variation de hauteur et non du chemin suivi.
Données : θ0 , l, m, θ, vA =0.
Évaluons la vitesse de la bille au point B. D’après la théorème de l’énergie cinétique.
Lorsque la bille est au point A, nous avons la hauteur hA qui vaut: \({h_A} = \) \(l - l\cos ({\theta _0})\) \( = l(1 - \cos ({\theta _0}))\)
Au point B, la hauteur hB vaut : \({h_B} = \) \(l - l\cos (\theta ) = \) \(l(1 - \cos (\theta ))\)
Le travail du poids est alors donné par: \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) = \) \( - mg({h_B} - {h_A})\) \( = - mg(l - l\cos (\theta )\) \( - l\) \( + l\cos ({\theta _0}))\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) = \) \(mgl(\cos (\theta )\) \( - \cos ({\theta _0}))\)
Il est par contre nul, le moment \({M_\Delta }(\overrightarrow T ) = 0\) car sa droite d’action rencontre l’axe de rotation \((\Delta )\) \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T ) = 0\)
D’après le TEC, \(\Delta {E_C} = \) \(\frac{1}{2}mv_B^2 - \) \(\underbrace {\frac{1}{2}mv_A^2}_0 = \) \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) + \) \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T )\) \( \Rightarrow \frac{1}{2}mv_B^2\) \( = mgl(\cos (\theta )\) \( - \cos ({\theta _0}))\) soit \({v_B} = \)\(\sqrt {2gl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))} \)
NB: La vitesse de la bille sera maximale lorsque \(\cos (\theta ) = 1\) i.e. \(\theta = 0\). qui est la plus grande valeur de cos(θ) , ainsi le point où la vitesse est maximale est le point C. soit \(v_{\max }^2 = \) \(2gl(1 - \cos ({\theta _0}))\)
2- Calcule du travail du poids
\({W_{\overrightarrow {AC} }}(\overrightarrow P ) = \) \(mgl(\cos (\theta )\) \( - \cos ({\theta _0}))\) avec \((\cos (\theta ) = 1\)
\({W_{\overrightarrow {AC} }}(\overrightarrow P )\)\( = mgl(1\)\( - \cos ({\theta _0}))\)
EXERCICE 3
Déterminons la vitesse v’
D’après le TEC: \(\Delta {E_C} = \) \(\underbrace {\frac{1}{2}Mv_B^2}_0\) \( - \frac{1}{2}Mv{'^2}\) \( = {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P )\) \( + {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T )\) \( = - Mg{h_B}\) \( = - Mgl(1\)\( - \cos ({\theta _0}))\)
\(v' = \)\(\sqrt {2gl(1 - \cos ({\theta _0}))} \) \(v' = 3,48m/s\)
Déterminons la vitesse du projectile (P)
Avant le choc \({\overrightarrow P _1} = m\overrightarrow v \) et \({\overrightarrow P _2} = \overrightarrow 0 \) Soit \({\overrightarrow P _{av}} = {\overrightarrow P _1} + {\overrightarrow P _2} = m\overrightarrow v \)
Juste après le choc : \({\overrightarrow P _{ap}} = (m + M)\overrightarrow {v'} \)
D’après le principe de conservation de le quantité de mouvement (choc mou) : \({P_{av}} = m\overrightarrow v \) \( = {\overrightarrow P _{ap}}\) \( = (m + M)\overrightarrow {v'} \)
En projetant cette relation suivant le sens positif que nous avons arbitrairement choisi (schéma)
\(mv = \) \((m + M)v' \Rightarrow \) \(v = \) \(\frac{{(m + M)}}{m}v'\) \(v = 3,48km/s\)
EXERCICE 4
1- La sphère étant en translation sur le plan incliné et en rotation autour de l’axe passant par son centre d’inertie et perpendiculaire au plan de la feuille, son énergie cinétique est la somme de son énergie cinétique de translation et de son énergie cinétique de rotation:
\({E_C} = \frac{1}{2}m{v^2}\) \( + \frac{1}{2}{J_\Delta }{\omega ^2}\) avec \({\rm{ }}{J_\Delta } = \frac{2}{5}m{R^2}\) et \(\omega = \frac{v}{R}\) soit \({E_C} = \frac{7}{{10}}m{v^2}\)
Représentons les forces appliquées à la sphère lorsqu’elle est au point A4.
2. Expression de l’énergie cinétique entre les points A6 et A1
\(\Delta {E_C} = \frac{7}{{10}}mv_6^2\) \( - \frac{7}{{10}}mv_1^2\) soit \(\Delta {E_C} = 10,{5.10^{ - 2}}j\)
3 Calcule du travail du poids
\({W_{\overrightarrow {{A_6}{A_1}} }}(\overrightarrow P ) = \) \({A_6}{A_1}mg\cos (\overrightarrow P ,\overrightarrow {{A_1}{A_6}} )\) soit \({W_{\overrightarrow {{A_1}{A_6}} }}(\overrightarrow P ) = {6.10^{ - 2}}j\)
Conclusion: \(\Delta {E_C} \ne {W_{\overrightarrow {{A_0}{A_6}} }}(\overrightarrow P )\) le TEC n’est pas respecté, alors il y a une autre force qui consomme une partie de l’énergie fournie par le travail du poids qui, ici est une force motrice: c’est la force de frottement.
4 Le solide est soumis aux forces de frottement, en choisissant un point quelconque entre A0 et A6 tel que A0A=x, de vitesse v et en appliquant le TEC, on a
\(\Delta {E_C} = \frac{7}{{10}}m{v^2}\) \( - \frac{7}{{10}}mv_0^2 = \) \({W_{\overrightarrow {{A_0}A} }}\left( {\vec P} \right) + \) \({W_{\overrightarrow {{A_0}A} }}\left( {\vec R} \right)\)
\(\frac{7}{{10}}m{v^2} - \) \(\frac{7}{{10}}mv_0^2 = \) \(mg.x.\cos \alpha - \) \(f.x\)
\({v^2} = \) \(\frac{{10}}{7}\left( {g.\cos \alpha - \frac{f}{m}} \right)x\) \( + v_0^2{\rm{ }}\)
C’est une équation de la forme y=ax+b où : \({\rm{a = }}\)\(\frac{7}{{10}}\left( {g.\cos \alpha - \frac{f}{m}} \right)x\) et \({\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }}v_0^2\) l’ordonnée à l’origine de la droite.
5 Traçons la droite \({v^2} = f(x)\)
| Points | A0 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| \({x_i} = {A_0}{A_i}\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \({v^2}({m^2}/{s^2})\) | \({v_0}\) | 4,5 | 5,29 | 6,35 | 6,0 | 6,87 | 7,50 |
A partir du graphe, \({\rm{a}} = \tan \theta \) \( = \frac{{A{A_5}}}{{AB}}\) Soit \({\rm{a}} = \frac{{6,87 - 5}}{{5 - 1,75}} = 0,57\) \({\rm{a}} = \frac{{10}}{7}\left( {g\cos (\theta ) - \frac{f}{m}} \right)\) \(f = m\left( {g.\cos \theta - \frac{7}{{10}}{\rm{a}}} \right)\) \(f = 47,{24.10^{ - 2}}N\)
\(v_0^2 = 4{m^2}/{s^2}\) \( \Rightarrow {\rm{ }}v_0 = 2m/s\)
N.B: vous pouvez vérifier l’égalité du théorème de l’énergie cinétique, vous auriez donc 0,1225j = 0,1225j.
EXERCICE 5
\(m{\rm{ = 1,0 Kg}}\) \(arc(AB){\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{1}{6}C{\rm{ }}\) \({\rm{OB = AB }}\)\({\rm{ = R = 15m }}\) \(l{\rm{ = 15m}}\) et \({v_{\rm{A}}} = 6m/s\)
1– Calcule de la vitesse au point B en suppossant les forces de frottements nulles.
D’après le TEC, on a :\(\frac{1}{2}mv_B^2 - \) \(\frac{1}{2}mv_A^2 = \) \({W_{arcAB}}(\overrightarrow P ) + \) \({W_{arcAB}}(\overrightarrow R )\)
\({W_{arcAB}}(\overrightarrow T ) = \) \({M_\Delta }(\overrightarrow T ).\theta = 0\) Car la droite d’action de la réaction passe par l’axe de rotation de la bille qui est perpendiculaire au plan de la feuille et passe par le point O.
\(arcAB = \frac{1}{6}c\) \( = \frac{1}{6}2\pi R\) \( = \frac{\pi }{3}rad\)
\(\frac{1}{2}mv_B^2 - \) \(\frac{1}{2}mv_A^2 = \) \(mg(R - OA')\) \( = mgR(1\) \( - \cos (\theta ))\)
\(v_B^2 = v_A^2\)\( + 2gR(1\)\( - \cos (\theta ))\) \({v_B} = 13,64m/s\)
2– Calcule de l’intensité de la force de frottement
NB: - La trajectoire AC n’a pas une forme régulière , on ne peut lui appliquer le TEC directement ,on doit la décomposer en élément de trajectoire à fin d’appliquer le TEC sur chaque portion indépendamment de l’autre.
Sur la portion circulaire: AB
\(\frac{1}{2}mv_B^2 - \) \(\frac{1}{2}mv_A^2 = \) \({W_{arcAB}}(\overrightarrow P ) + \) \({W_{arcAB}}(\overrightarrow {{R_N}} ) + \) \({W_{arcAB}}(\overrightarrow f )\) \( = mgR(1 - \cos (\theta ))\) \( + 0 - fR\theta {\rm{ }}\) \({\rm{(1)}}\)
Sur la portion rectiligne BC
\(\frac{1}{2}mv_c^2 - \) \(\frac{1}{2}mv_B^2 = \) \({W_{\overrightarrow {BC} }}(\overrightarrow P )\) \( + {W_{\overrightarrow {BC} }}(\overrightarrow {{R_N}} )\) \( + {W_{\overrightarrow {BC} }}(\overrightarrow f )\) \( = 0 + 0 - f.l{\rm{ }}\) \({\rm{(2)}}\)
En additionnant membre à membre les relations (1) et (2) on a:
\[f = \frac{{2mgR(1 - \cos (\frac{\pi }{3})) + mv_A^2 - mv_c^2}}{{2(\frac{{R\pi }}{3} + l)}}\]
\(f = 0,46N\)
