L'énergie mécanique du système solide-ressort horizontal est égale à la somme de l'énergie cinétique du solide et de l'énergie potentielle du ressort :
Le solide reste à la même altitude. Par conséquent l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre ne varie pas. Elle est nulle si on choisit l'état de référence à l'altitude où évolue le centre d'inertie du solide.
En l’absence de frottement, l'énergie mécanique du système se conserve.

Au point O, \(O\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0 \Rightarrow {E_{pe}} = \frac{1}{2}k{.0^2} = 0\\{v_0} = v\end{array} \right.\) Au point A \(A\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 4cm \Rightarrow {E_{pe}} = \frac{1}{2}k.x_A^2\\{v_A} = 0\end{array} \right.\)

D’après le principe de conservation de l’énergie mécanique, \({E_m}(A) = {E_m}(O)\) \( \Rightarrow \frac{1}{2}mv_O^2\) \( + \underbrace {\frac{1}{2}k.x_0^2}_0 = \) \(\underbrace {\frac{1}{2}mv_A^2}_0 + \) \(\frac{1}{2}k.x_A^2\)

\(\frac{1}{2}mv_O^2 = \) \(\frac{1}{2}k.x_A^2 \Rightarrow \) \({v_O} = {x_A}\sqrt {\frac{k}{m}} \).

2 Supposons l’énergie potentielle de référence au niveau de la vallée (C) nulle.
Exprimons la variation de l’énergie potentielle dans les cas suivants:
a- Le niveau de référence est pris au niveau de la vallée.

Au point A \({E_{PP}}(A) = mg.{z_A}\) \( = mg({h_1} + {h_2})\)

Au point C: \({E_{PP}}(C) = 0\)

b- Le niveau de référence est pris au niveau de la plaine
Au point A: \({E_{PP}}(A) = \) \(mg.{z_A} = \)\(mg{h_1}\)
Au point C: \({E_{PP}}(C) = - mg{h_2}\)

c- Le niveau de référence est pris au niveau du plateau

Au point A: \({E_{PP}}(A) = \) \(mg.{z_A} = \) \(mg({h_1} - {h_3})\)
Au point C: \({E_{PP}}(C) = \)\( - mg({h_2} + {h_3})\)

RQ: \(\Delta {E_{PP}} = \) \( - {W_{\overrightarrow {AC} }}(\overrightarrow P ) = \)\( - mg({h_1} + {h_2})\)\( \Rightarrow \) \({W_{\overrightarrow {AC} }}(\overrightarrow P ) = \)\(mg({h_1} + {h_2})\)

Ceci est très juste puisse que le poids est ici une force motrice.
Avant tout calcul d’énergie potentielle, il faut déterminer la constance. Pour cela:
- On choisit un état particulier, dit de référence;
- On attribue une valeur à l’énergie potentielle pour cet état de référence.
L’état de référence et la valeur attribuée sont choisis arbitrairement. Selon ces choix, l’énergie potentielle peut être positive ou négative. Mais la variation d’énergie potentielle entre deux états, seuls quantité mesurable, est indépendance des conventions choisies.

3- La vitesse de la barre étant constante, nous avons , d’après la condition d’équilibre pour les solide en rotation.

\(\sum {{\mathfrak{M}_\Delta }({{\overrightarrow F }_{EXT}}) = 0} \)\( \Rightarrow {\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow P ) + \)\({\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow T ) + \)\({\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow F ) + \)\({\mathfrak{M}_C} = 0\)

\({\mathfrak{M}_C} = - C\theta \) est le moment du couple de torsion.

\({\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow P ) + \)\({\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow T ) + \)\({\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow F ) + \)\({\mathfrak{M}_C} = 0\)\( \Rightarrow \)\(0 + 0 + F.GB\)\( - C\theta = 0\).

\(\left. \begin{array}{l}2\pi rad \to 1tr\\\theta rad \to 2trs\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \theta = 6\pi rad\)          \(C = \frac{{F.l}}{{2\theta }}\)

4- Le niveau de référence est pris au point A et E_PP(A)=0
Calcule de la variation d’énergie potentielle:

\(\left. \begin{array}{l}{E_{PP}}(A) = 0\\{E_{PP}}(B) = mgh\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \Delta {E_{PP}} = mgh\)         \(\Delta {E_{pp}} = 14,{1.10^6}J\)

Calcule de la variation d’énergie cinétique:

\(\left. \begin{array}{l}{E_C}(A) = 0\\{E_C}(B) = \frac{1}{2}m.v_B^2\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow \) \(\Delta {E_C} = \frac{1}{2}m.v_B^2\).        \(\Delta {E_C} = {150.10^6}J\)

Calcule de la variation d’énergie mécanique.