Epreuve De mathématiques au probatoire D et TI 2018

Exercice I : 4 points
1. Soit n un entier naturel, \(n \ge k\)
a) Exprimons un en fonction de n, u_k et r 0,75 pt
(un) étant une suite arithmétique de raison r, \({u_n} = \) \({u_k} + \) \((n - k)r\)
b) Exprimons \({S_n} = \) \({u_k} + \) \({u_{k + 1}} + \) \(... + {u_n}\) 0,75 pt
Ainsi :
\({S_n} = \) \(\frac{{n - k + 1}}{2}\) \(({u_k} + {u_n})\) \( = \frac{{n - k + 1}}{2}\) \((2{u_k} + \) \((n - k)r)\)
2.a) Déterminons la raison de cette suite 0,75 pt
Notons u5 et u10 respectivement le 5ieme et le 10ieme termes de cette suite, r sa raison, on :
\({u_{10}} = \) \({u_5} + 5r\) \( \Rightarrow r = \) \(\frac{{{u_{10}} - {u_5}}}{5}\) \( = 2\)
Cette suite est de raison 2
2.b) Déterminons la raison de cette suite si le premier terme est 2 0,75 pt
\(30 = \) \(\frac{{5(2 \times 2 + 4r)}}{2}\)
Cette suite est de raison 2
3.a) Déterminons les nombres de petits-fils de Mme Wedze 0,75 pt
Désignons par \(n \in N\) ce nombre, le plus grand des ainés recevra un nombre de bonbons égal à : \(2 + \) \(2(n + 1)\), soit 2n le nombre de petits-fils qui recevront au total \(\frac{{n(2 + 2n)}}{2}\) \( = n(n + 1)\) qui est par ailleurs égal à 6n, d’après la remarque de l’aîné des petits-fils.
n vérifie la relation \(n(n + 1)\) \( = 6n\), de la résolution de cette équation, on obtient n=0 et n=5.
Conclusion, Mme Wedge a 5 petits-fils.
3.b) Déterminons le nombre de bonbons que comptait le paquet 0,25 pt
\(5 \times 6 = 30\) bonbons.

Exercice II / 5points
1. Traçons dans le repère convenablement choisi, l’histogramme de cette série 1,5 pt
L’aire de chaque rectangle de l’histogramme et proportionnelle à l’effectif de la classe qu’il représente. Par conséquent, les hauteurs des rectangles représentant les classes [145 ;155[ ,[155 ;160[, [160 ;165[, [165 ;170[, et [170 ;190[ sont respectivement proportionnelles à leurs densités. On a donc
\({d_1} = \) \(\frac{5}{{155 - 145}}\) \( = 0,5\)
\({d_2} = \) \(\frac{10}{{160 - 155}}\) \( = 2\)
\({d_3} = \) \(\frac{15}{{165 - 160}}\) \( = 3\)
\({d_4} = \) \(\frac{5}{{170 - 165}}\) \( = 1\)
\({d_5} = \) \(\frac{5}{{190 - 170}}\) \( = 0,25\)
Si a, b, c, d et e désignent les hauteurs respectivement de ces rectangles, alors
\(\frac{a}{{0,5}} = \) \(\frac{b}{2} = \) \(\frac{c}{3} = \) \(\frac{d}{1} = \) \(\frac{e}{{0,25}}\)
2.a) Traçons le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série 1,25 pt
Le tableau des effectifs cumules croissante (E.C.C) est le suivant :

Le polygone des effectifs cumulés croissants est le suivant :
2.b) Déterminons graphiquement et par calcul la médiane me au centimètre prés :
Graphiquement, me est l’abscisse du point de cordonnées 20. Donc \({m_e} \approx 162\) cm
Par calcule, on a \(\frac{{{m_e} - 160}}{{20 - 15}} = \) \(\frac{{165 - 160}}{{30 - 15}}\) ; ainsi, \(me = \) \(160 + \frac{5}{3}\) \({m_e} \approx 162\) cm 1 pt
3. Calculons la moyenne m et la variance v de cette série 1,25 pt
La série des centres est :

\(m = 162,5\)
\(v = 67,18\)

Problème /11 points
Partie A
1.a) Montrons que pour tout point M du plan, 0,75 pt
\(O{M^2} + \) \(A{M^2} = \) \(2G{M^2} + \) \(\frac{1}{2}O{A^2}\)
Soit M un point du plan, comme G est le milieu de [AO], on a :
\(O{M^2} + \) \(A{M^2} = \) \({(\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GM} )^2}\) \( + (\overrightarrow {AG} + \) \(\overrightarrow {GM} {)^2}\) \( = {(\frac{{\overrightarrow {OA} }}{2})^2} + \) \({(\frac{{\overrightarrow {OA} }}{2})^2} + \) \(2{\overrightarrow {GM} ^2}\)
\( = \frac{{{{\overrightarrow {OA} }^2}}}{2}\) \( + 2{\overrightarrow {GM} ^2}\)
1.b) Déduisons la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (\({\Gamma _1}\)) des points M du plan tels que : \(O{M^2} + \) \(A{M^2} = \) \(O{A^2}\) 0,75pt
Soit M un point de (\({\Gamma _1}\)), on a
\(O{M^2} + \) \(A{M^2} = \) \(O{A^2} \Leftrightarrow \) \(\frac{{O{A^2}}}{2} + \) \(2G{M^2} = \) \(O{A^2}\)
Soit : \(G{M^2} = \) \(\frac{{O{A^2}}}{4}\) ainsi \(GM = \frac{{OA}}{2}\). (\({\Gamma _1}\)) est un cercle de centre G et de rayon \(\frac{{OA}}{2}\).
2.a) Montrons que l’ensemble (\({\Gamma _2}\)) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon r 0,75 pt
Soit M(x,y) un point tel que : \({x^2} + \) \({y^2} - \) \(2x - \) \(4y = 0\), on a : \({(x - 1)^2} + \) \({(y - 2)^2}\) \( = 5\)
Donc (\({\Gamma _2}\)) est un cercle de centre G(1 ;2) et de rayon \(r = \sqrt 5 \)
2.b) Vérifions que A(2 ;4) appartient à (\({\Gamma _2}\)) et donnons une équation de la tangente (T) à (\({\Gamma _2}\)) en ce point 0,75 pt
• \(GA = \sqrt 5 \) donc A(2 ;4) appartient à (\({\Gamma _2}\)). On peut aussi montrer que les coordonnées de A vérifient l’équation de (\({\Gamma _2}\)).
• Un vecteur normal de (T) est \(\overrightarrow {GA} (1;2)\), une équation de (T) est alors \(x + 2y\) \( + c = 0\), c étant un réel. Comme A(2 ;4) appartient à (T), on a \(2 + 2\) \( \times 4 + c\) \( = 0\) et alors, c=-10. Une équation de (T) est donc
\(x + 2y\) \( - 10 = 0\)
2.c) Traçons (\({\Gamma _2}\)) et (T)

Partie B :
1.a) Calcule les limites de f aux bornes D : \(D = \) \(] - \infty ;1[\)\( \cup ]1; + \infty [\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) \( = - \infty \) 0,25 pt
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) \( = + \infty \) 0,25 pt
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) \( = - \infty \) 0,25 pt
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\) \( = + \infty \) 0,25 pt
1.b) Équation de l’asymptote à la courbe 0,25 pt
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) \( = - \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\) \( = + \infty \)
Alors, x=1 est asymptote verticale à la courbe (Cf)
1.c Déterminons trois réels a, b et c tels que pour tout x de D on a :
\(f(x) = \) \(ax + b\) \( + \frac{c}{{x - 1}}\) 0,75 pt
Soit \(x \in D\), on a
\(f(x) = \) \(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) \( = \) \(\frac{{x(x - 1) + (x - 1) + 1}}{{x - 1}}\) \( = \) \(x + 1 + \) \(\frac{1}{{x - 1}}\)
Alors a=1, b=1 et c=1.
1.d) Montrons que la droite \((\Delta )\) : y=x+1 est une asymptote à la courbe (Cf) : on a
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (f(x)\) \( - (x + 1))\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x)\) \( - (x + 1))\) \( = 0\)
La droite \((\Delta )\) : y=x+1 est une asymptote oblique à la courbe (Cf) 0,25pt
2.a) Déterminons la fonction dérivée et dressons le tableau de variation de la fonction f
\(f'(x) = \) \(\frac{{x(x - 2)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) 0,75 pt
Tableau de variation
2.b) Montrons si oui ou non, il existe des points de (Cf) où la tangente est parallèle à \((\Delta )\) 0,5 pt
La tangente à (Cf) en un point d’abscisse \(\alpha \ne 1\) est parallèle à \((\Delta )\) si et seulement si \(f'(\alpha ) = 1\). On a ainsi
\(f'(\alpha ) = \) \(\frac{{\alpha (\alpha - 2)}}{{{{(\alpha - 1)}^2}}}\) \( = 1\) soit \({\alpha ^2} - 2\alpha \) \( = {\alpha ^2} - \) \(2\alpha + 1\). Ceci est impossible, il n’existe donc pas de point (Cf) où la tangente est parallèle à \((\Delta )\)
3. Traçons la courbe (Cf)
4.a) Calcule de \(\Delta m\) :
\(\Delta m = {m^2}\) \( - 4m\) 0,25 pt
Remarque : L’équation (Em) est équivalente à f(x) = m et ainsi, les solutions de (Em) sont les abscisses des éventuels points communs à la courbe de f et de la droite d’équation y=m.
4.b) Déterminons les valeurs de m pour lesquelles (Em) admet une solution unique : 0,5 pt
\(\Delta m = 0\) si et seulement si (m=0 ou m=4)
(Em) admet une solution unique pour m=0 ou m=4.
4.c) Déterminons les valeurs de m pour lesquelles (Em) admet deux solutions (0,5 pt)
(Em) admet deux solutions distinctes si et seulement si \({m^2} - \) \(4m \succ 0\), soit
\(m \in ] - \infty \) \(;0[ \cup ]4;\) \( + \infty [\)
5.a) Exprimons en fonction de m, la somme Sm et le produit Pm de ces solutions 0,5 pt
\(\left\{ \begin{array}{l}{S_m} = m\\{P_m} = m\end{array} \right.\)
5.b) Déterminons m si cela est possible tel que les solutions x₁ et x₂ soient toutes négatives
X₁ et x₂ sont toutes negatives si et seulement si \({m^2} - \) \(4m \succ 0\), \({P_m} \succ 0\) et \({S_m} \prec 0\). Soit \(m \succ 4\) et \(m \prec 0\)
Il n’existe donc pas de valeur de m telle x₁ et x₂ soient toutes négatives
5.c) Déterminons les valeurs de m pour lesquelles les solutions x₁ et x₂ sont de signes contraires 0,5pt
Les solutions sont de signes contraires si et seulement si (\({m^2} - \) \(4m \succ 0\) et \(m \prec 0\) ) ; soit \(m \in ] - \infty ;0[\). Les solutions x₁ et x₂ sont de signes contraires pour \(m \in ] - \infty ;0[\)
5.d) Déterminons les valeurs de m pour lesquelles les solutions x1 et x2 sont toutes positives 0,5 pt
Les solutions x₁ et x₂ sont toutes positives si et seulement si (\({m^2} - \) \(4m \succ 0\) et \(m \succ 0\) ), soit \(m \in ]4; + \infty [\). Les solutions x₁ et x₂ sont toutes positives pour \(m \in ]4; + \infty [\)

Epreuve De mathématiques au probatoire D et TI 2018