EXERCICE 1 : (3pts)
\(\xi \) est un plan vectoriel muni d’une base \(B = (\vec i,\vec j)\), et \(f\) un endomorphisme de \(\xi \) défini tel que :
\(\left\{ \begin{array}{l}f(\vec i) = \vec i - 2\vec j\\f(\vec j) = - \frac{1}{2}\vec i + \vec j\end{array} \right.\)
1- a) Donner la matrice M de f dans la base B. 0,25pt
b) Soit le vecteur \(\vec u = x\vec i + y\vec j\). Donner [expression de \(f(\vec u)\). 0,5pt
2- Déterminer le noyau de \(f\), noté kerf et l’image de f, notée Imf. 1pt
3- f est-il un automorphisme de \(\xi \) ? 0,25pt
4- Soient les vecteurs \(\overrightarrow {{e_1}} = \vec i + 2\vec j\) et \(\overrightarrow {{e_2}} = \vec i - 2\vec j\)
a) Montrer que \(B' = (\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {{e_2}} )\) est une base de \(\xi \). 0,5pt
b) Donner la matrice M’ de f dans la base B’. 0,5pt

EXERCICE 2 : (3pts)
1 Soit un réel \(\alpha \) de \(\left] {0,\frac{\pi }{2}} \right]\) et
\(\Sigma = \) \(\cos (\alpha + 331\pi )\) \( + \sin (\frac{{11\pi }}{2} + \alpha )\) \( + \sin (\alpha - \frac{{31\pi }}{2})\) \( + \sin (\frac{{3\pi }}{2} - \alpha )\)
a) Démontrer que \(\Sigma = - 2\cos (\alpha )\) 0,75pt
b) Déterminer les valeurs de \(\alpha \) pour lesquelles \(\Sigma \prec - 1\) 0,75 pt
2- Dans une maison, une somme S est distribuée équitablement tous les matins aux enfants qui vont à l’école et chacun reçoit 400 francs. Le père annonce l’arrivée prochaine de trois autres enfants qui partageront tous les jours la même somme S avec ceux qui sont déjà à la maison. En apprenant cette nouvelle, l’un des enfants s’écrie : « chacun d’entre nous ne recevra désormais que 250francs tous les matins ».
Déterminer le nombre n d’enfants dans la maison, ainsi que la somme S partagée. 1,5 pt

EXERCICE 3 : (5pts)

Dans le contrôle de l’accroissement d’une espèce de plante, un ingénieur a réparti suivant la taille en cm. 34 hectares de la culture de cette espèce dans le tableau suivant :

1- Calculer la moyenne de cette série statistique. 0,5pt
2- Donner l’écart- type de cette série. 1pt
3- Construire l’histogramme de cette série sachant que la classe \(\left[ {1,6} \right[\) est représentée par un rectangle de base 5cm et de hauteur 8 mm. 1,5 pt
NB : On donnera les troncatures d’ordre 2.

PROBLÈME : (11 pts)
On considère la fonction f définie par :
\(f(x) = \) \(\frac{{2{x^2} + 16x + 27}}{{2x + 7}}\)
Soit \((\zeta f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \((O,\vec i,\vec j)\)
PARTIE A
1- a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f 0,5pt
b) Calculer f(-8) ;f(-5) ; f (- 4) et f (1) 1pt
c) Etudier les limites de f aux bornes de Df. 0,5pt
d) Déterminer la dérivée f‘ de f. 0,5pt
e) Dresser le tableau de variation de f 0,5pt
2- a) Déterminer les coordonnés des points d’intersection de \((\zeta f)\) avec l’axe des abscisses. 0,5pt
b) Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que
\(f(x) = ax + b\) \( + \frac{c}{{2x + 7}}\) 0,75pt
C) Montrer que le point \(I( - \frac{7}{2};1)\) est centre de symétrie de \((\zeta f)\). 0,5pt
d) Construire soigneusement \((\zeta f)\) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\), unité graphique : 1 cm 0,75pt
3- Construire sur le même graphique, la courbe \((\zeta g)\) de la fonction g définie par :
\(g(x) = \left| {f(x)} \right|\) 0,5pt

PARTIE B
Soit J un point du plan euclidien orienté P, C(J,r) le cercle de centre J et de rayon r. On considère
le carré ABCD inscrit dans le cercle C(J,r) telle qu’une mesure en radian de l’angle orienté
\((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} )\) est \(\frac{\pi }{2}\). Un point M du plan a pour image M₁ par la notation R de centre A et d’angle \(\frac{\pi }{2}\) et M2 par la rotation R’ de centre C et d’angle \( - \frac{\pi }{2}\).
1-Réaliser une figure soignée. 0,5pt
2-a) Déterminer une mesure en radian de l’angle \((\overrightarrow {D{M_1}} ,\overrightarrow {D{M_2}} )\) ( 0,5pt)
b) En déduire que D est le milieu du segment \(\left[ {{M_1}{M_2}} \right]\) 0,5pt
3- Un point N du plan a pour image N₁ par R, N₁ a pour image N₂ par R’
a) Construire l’image de C par \(R'oR\). 0,5pt
b) En déduire que \(\overrightarrow {N{N_2}} = 2\overrightarrow {BC} \) 0,5pt
4' On donne J(—3,—2) et A(0,—2) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\) orthonormé direct
a) Calculer r. 0,25pt
b) Déterminer une équation cartésienne de C (J, r) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\) 0,25pt
e) Déterminer les coordonnées des points B, C et D. 0,75pt
d) Déterminer une équation de la tangente (T) en A à C (J ,r) . 0,25pt
e) Soient L(4,-2) et (C’) le cercle de diamètre [AL].
i) Donner une équation de (C’) en déterminant son centre J’ et son rayon r’. 0,5pt
ii) Vérifier que (T) est tangente à (C’) en A. 0,25pt
iii) En déduire que les points J, A et J’ sont alignés. 0,25pt