Partie A : Évaluation des ressources (15 points)
Exercice I / (5 points)
1.) Résolvons dans \(C\) l’équation : \({z^2} + 2 - \) \(2i\sqrt 3 = 0\)
\({z^2} = - 2 + \) \(2i\sqrt 3 = \) \({\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^2}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} z = 1 + i\sqrt 3 \\ z = - 1 - i\sqrt 3 \end{array} \right.\) 0,75 pt
2.a) Donnons les éléments caractéristiques de \(s\)
\(s\) est la similitude directe de centre \(O\), de rapport 2 et d’angle \( - \frac{\pi }{3}\) 0,75 pt
2.b) Déterminons les images par \(s\) des points \(A\) et \(B\). 0,5 pt
On a : \(\left( {1 - i\sqrt 3 } \right){z_A} = 4\) et \(\left( {1 - i\sqrt 3 } \right){z_B} = - 4\), donc \(s(A) = F\) et \(s(B) = G\)
3.a) Déterminons une équation de l’image \(\left( {\varepsilon '} \right)\)de \(\left( \varepsilon \right)\) par la similitude \(s\) 1 pt
O est le centre de \(\left( {\varepsilon '} \right)\) qui est une ellipse d’équation \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), d’où \(c = OF = 4\) ; \(e = \frac{c}{a}\) ; donc \(a = 8\) et \(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \) \( = \sqrt {48} \)
Donc une équation de \(\left( {\varepsilon '} \right)\) est \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{48}} = 1\)
3.b) Construisons \(\left( {\varepsilon '} \right)\) puis \(\left( {\varepsilon} \right)\) dans le même repère. 1 pt
On peut remarquer que l’ellipse \(\left( \varepsilon \right)\) est l’image de l’ellipse \(\left( \varepsilon ' \right)\) par la similitude \({s^{ - 1}}\) qui est de centre \(O\), de rapport \(\frac{1}{2}\) et d’angle \(\frac{\pi }{3}\)
4) Déterminons la probabilité pour que Aicha choisisse deux points de l’axe focale de \(\left( {\varepsilon '} \right)\)
Il y a trois de ces cinq points qui appartiennent à l’axe focale de \(\left( {\varepsilon '} \right)\), donc la probabilité demandée est : 1 pt
\(P = \frac{{A_3^2}}{{A_5^2}} = \frac{3}{{10}}\)
Exercice 2 / 5 pts
1.a) Démontrons que \(E_k\) est un sous espace vectoriel de \(E\) 1 pt
• \(f(\overrightarrow O ) = \overrightarrow O \) \( = k\overrightarrow O \), donc \(\overrightarrow O \in {E_k}\) et alors \({E_k} \ne \phi \)
• Soient \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \in {E_k}\), \(\lambda \in R\), montrons que \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \in {E_k}\) et que \(\lambda \overrightarrow u \in {E_k}\).
\(f(\overrightarrow u + \overrightarrow v ) = f(\overrightarrow u )\) \( + f(\overrightarrow v ) = k\overrightarrow u + \) \(k\overrightarrow v = k(\overrightarrow u + \overrightarrow v )\), donc \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \in {E_k}\)
\(f(\lambda \overrightarrow u ) = \lambda \left( {k\overrightarrow u } \right)\) \( = k\left( {\lambda \overrightarrow u } \right)\) donc \({\lambda \overrightarrow u \in {E_k}}\)
Remarque : on peut aussi démontrer que \({E_k} = \) \(\ker (f - kI{d_E})\)
1.b) Démontrons que \(\overrightarrow u \in {\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) si et seulement si \(\overrightarrow u \in {E_2}\). 1 pt
• Soit \(\overrightarrow u \in {E_2}\) :
\(\overrightarrow u \in {E_2} \Rightarrow \) \(f(\overrightarrow u ) = 2\overrightarrow u \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow u = \) \(f(\frac{1}{2}\overrightarrow u )\); donc \(\overrightarrow u \in {\mathop{\rm Im}\nolimits} f\)
• Soit \(\overrightarrow u \in {\mathop{\rm Im}\nolimits} f\), il existe \(\overrightarrow v \in E\) tel que \(\overrightarrow u = f(\overrightarrow v )\), ainsi \(f(\overrightarrow u ) = f^\circ f(\overrightarrow v )\) d’où \(f(\overrightarrow u ) = 2f(\overrightarrow v )\) \( = 2\overrightarrow u \) donc \(\overrightarrow u \in {E_2}\)
Conclusion \(\overrightarrow u \in {\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) si et seulement si \(\overrightarrow u \in {E_2}\)
2.a) Démontrons que \(f(\overrightarrow i ) = 2\overrightarrow i \), \(f(\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j \) et \(f(\overrightarrow k ) = \) \( - 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).
On a :
\(f(\overrightarrow i ) + f(\overrightarrow j ) = \) \(2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j :(1)\)
\(f(\overrightarrow i ) - f(\overrightarrow j ) = \) \(2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j :(2)\)
\(f(\overrightarrow i ) - f(\overrightarrow j )\) \( + f(\overrightarrow k ) = \overrightarrow 0 :(3)\)
(1) + (2) implique que \(f(\overrightarrow i ) = 2\overrightarrow i \)
(1) - (2) implique que \(f(\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j \)
(3) implique que \(f(\overrightarrow k ) = f(\overrightarrow j )\) \( - f(\overrightarrow i ) = - 2\overrightarrow i + \) \(2\overrightarrow j \)
2.b) Donnons la matrice \(M\) dans la base \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)\) 0,5 pt
\(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&{ - 2}\\ 0&2&2\\ 0&0&0 \end{array}} \right)\)
2.c) Démontrons que \(f^\circ f = 2f\) 0,5 pt
\(M \times M = \) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&0&{ - 4}\\ 0&4&4\\ 0&0&0 \end{array}} \right) = \) \(2\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&{ - 2}\\ 0&2&2\\ 0&0&0
\end{array}} \right)\)
2.d) Déterminons l’image \({\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) de \(f\). Précisons une de ses bases, le noyau de \(Ker f \)
Soit \(\overrightarrow u = x\overrightarrow i + \) \(y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow u = \in Kerf\) \( \Leftrightarrow f(\overrightarrow u ) = \overrightarrow 0 \) ce qui implique que \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 2z = 0\\ 2y + 2z = 0 \end{array} \right.\) soit \(\left\{ \begin{array}{l} x = z\\ y = - x \end{array} \right.\) soit \(\overrightarrow u = x(\overrightarrow i - \overrightarrow j \) \( + \overrightarrow k )\) donc \(Kerf\) est la droite vectorielle de base \((\overrightarrow i - \overrightarrow j + \overrightarrow k )\)
2.e) Déterminons l’image \({\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) de \(f\) et précisons ses bases
\({\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) est engendré par les vecteurs \(f(\overrightarrow i )\), \(f(\overrightarrow j )\) et \(f(\overrightarrow i )\) et comme \(f(\overrightarrow i ) = 2\overrightarrow i \), \(f(\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j \) et \(f(\overrightarrow k ) = - 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \), alors \({\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) est engendrée par \(\overrightarrow i \) et \(\overrightarrow j \). Or \(\dim {\mathop{\rm Im}\nolimits} f = \dim E\) \( - \dim Kerf = 2\) donc \({\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) est le plan vectoriel de base \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), qui est aussi le plan d’équation \(z=0\).
Exercice 3 / 5 pts
1) Démontrons que \(f''(x) + 2f'(x)\) \( + 2f(x) = 0\) 0,5 pt
En effet, \(f'(x) = - {e^x}\cos x\) \( - {e^{ - x}}\sin x\) et \(f''(x) = 2{e^{ - x}}\sin x\) en substituant ces fonctions dans l’équation initiale, nous avons \(f''(x) + 2f'(x)\) \( + 2f(x) = 0\)
2) Étudions les variations de \(f\) et dressons son tableau de variations. 1,25 pt
La fonction \(f\) est définie et dérivable sur \(\left[ {0,2\pi } \right]\)
\(f(0) = 1\), \(f(2\pi ) = 2{e^{ - 2\pi }}\)
Dans \(\left[ {0,2\pi } \right]\), \(f'(x) = 0\) \( \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\) ou \(x = \frac{{7\pi }}{4}\)
\(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \) \(x \in \left[ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right]\), Ainsi la fonction \(f\) est croissante sur \(\left[ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right]\), décroissante sur \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{4}} \right]\) et \(\left[ {\frac{{7\pi }}{4};2\pi } \right]\).
3.a) Démontrons que \({e^{ - x}} \le f(x)\) \( \le {e^{ - x}}\) 0,5 pt
Soit \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\), alors \( - 1 \le \cos x \le 1\) et \({e^{ - x}} \succ 0\) donc \( - {e^{ - x}} \le f(x) \le {e^{ - x}}\).
3.b) Déterminons les coordonnées des points d’intersection de \(\left( {Cf} \right)\) avec les courbes \(y = - {e^{ - x}}\) et \(y = {e^{ - x}}\). 0, 75 pt
Soit \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\)
\(f(x) = {e^{ - x}}\) \( \Leftrightarrow \cos x = 1 \Rightarrow \) \(x = 0\) ou \(x = 2\pi \). Donc les coordonnées des points d’intersection de \(\left( {Cf} \right)\) avec la courbe \(y = {e^{ - x}}\) sont \(\left( {0;1} \right)\) et \(\left( {2\pi ;{e^{ - 2\pi }}} \right)\)
\(f(x) = - {e^{ - x}} \Leftrightarrow \) \(\cos x = - 1 \Rightarrow \) \(x = \pi \) donc la courbe \(\left( {Cf} \right)\) rencontre la courbe d’équation \(y = - {e^{ - x}}\) en un point de coordonnées \(\left( {\pi ;{e^{ - \pi }}} \right)\)
4.) Traçons dans le même repère, les courbes d’équations \(y = - {e^{ x}}\) et \(y = - {e^{ - x}}\) puis \(\left( {Cf} \right)\) sur \(\left[ {0;2\pi } \right]\)
Les courbes d’équations \(y = {e^{ - x}}\) et \(y = - {e^{ - x}}\) sont symetriques par rapport à l’axe des abscisses. Celle d’équation \(y = {e^{ - x}}\) se déduit de celle de la fonction \(y = {e^{ x}}\) par symétrie par rapport à l’axe (\(Oy)\)
5. Calculons l’aire de la partie du plan délimitée par \((C_f)\) et la courbe d’équation \(y = {e^{ - x}}\) sur \(\left[ {0;2\pi } \right]\) 1 pt
En unité d’aire, cette aire :
\(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {{e^{ - x}} - f(x)} \right)} dx\) \( = [{e^{ - x}}( - 1 + \frac{1}{2}( - \) \(\sin x + \cos x)]_0^{2\pi }\) \( = \frac{1}{2}\left( {1 - {e^{ - 2\pi }}} \right)\)
Cette aire en cm3 est \(4\left( {1 - {e^{ - 2\pi }}} \right)\)
Partie B : Évaluation des compétences / 5 pts
1) Déterminons en combien d'années le gisement A va s'épuiser.
Désignons par \({A_n}\) la quantité en milliards de \({m^3}\) de gaz extraite à la nieme années après l'inauguration : \(n\) étant un nombre entier naturel non nul. Tant que le gisement reste suffisamment fourni.
on a \({A_1} = 5,01\) et \({A_{n + 1}} = {A_{n + 1}} + 0,75\).75. D'où \({A_{n + 1}} = 0,75n + 4,26\)
Au bout de ces \(n\) années, la quantité totale de gaz extraite du gisement A est : \({Q_n} = {A_1} + ... + {A_n}\) \( = \frac{{n\left( {{A_1} + {A_n}} \right)}}{2}\) \( = 0,375{n^2} + 4,635n\) avec \({Q_n} \le 100\) \( \Rightarrow 0,375{n^2} + \) \(4,635n \le 100\) c'est-à-dire que pour \(n \in \) \(\left] {0;\frac{{ - 927 + \sqrt {6859329} }}{{150}}} \right]\) avec \({\frac{{ - 927 + \sqrt {6859329} }}{{150}}}\) \({ \approx 11,28}\)
Comme \({Q_{11}} = 0,375{\left( {11} \right)^2}\) \( + 4,635\left( {11} \right) = 96,36\), le reste du gisement A alors vidé à la 12e année. Le gisement A va donc s'épuiser en 12 ans.
2) Déterminons le nombre d'années d'extraction pour épuiser le gisement B.
\(q'(t) = \frac{1}{{2t + 1}}\) \( + 0,02t \Rightarrow q(t) = \) \(\frac{1}{2}\ln \left( {2t + 1} \right) + 0,01{t^2}\) \( + c\), c étant une constante réelle. \(q(0) = 0\) soit \(q(t) = \frac{1}{2}\ln \left( {2t + 1} \right)\) \( + 0,01{t^2}\)
Le gisement B va s'épuiser lorsque \(q(t) = 100\).
La fonction \(q\) est continue et strictement croissante sur \(\left] {0; + \infty } \right[\). De plus 100 est entre \(q(98) \approx 98,69\) et \(q(99) \approx 100,65\); donc l'équation \(q(t) = 100\) admet une unique solution entre 98 et 99.
Conclusion : Le gisement B va s'épuiser à la 99° année.
3) Déterminons le nombre d'années après l'inauguration pour vider le gisement C de son contenu.
on a : \(\frac{{q'(t)}}{{q(t)}} = ... = \) \(\frac{{q'(t)}}{{q(t)}} = \frac{{5,01}}{{5,01}}\) \( = 1\)
D'où \(q(t) = q’(t)\).
c étant une constante réelle.
\(q(1) = 5,01 \Rightarrow \) \(ce = 5,01 \Rightarrow \) \(c = 5,01{e^{ - 1}}\)
Ainsi \(q(t) = 5,01{e^{\left( {t - 1} \right)}}\)
Le gisement C va s'épuiser lorsque \(q(t) = 100\), soit \(5,01{e^{\left( {t - 1} \right)}} = 100\)
\(t = 1 + \ln \left( {\frac{{10000}}{{501}}} \right)\) \( \approx 3,99\)
Donc le gisement C va se vider 4 ans après l'inauguration.
