Objectifs:
- Étudier les caractéristiques du mouvement d’un oscillateur mécanique
- Montrer la conservation de l’énergie mécanique en l’absence d’amortissement:
- Différencier les oscillations mécaniques libres des oscillations forcées.
II Les oscillateurs en translation rectiligne
II Les oscillateurs en translation rectiligne
II.1 Le pendule élastique
Ce sont des systèmes constitués d’un ressort à spires non jointives pouvant travailler en extension et en compression. L’une des extrémités est fixe et l’autre solidaire d’un solide. Ce ressort peut être vertical; horizontal ou oblique. Dans la suite, il sera question de montrer que tout oscillateur non amorti ( les forces de frottements négligeables) est harmonique et le système conservatif.
Le pendule élastique horizontal
II.1.1 Le pendule élastique horizontal
- Dispositif expérimental
Un solide (S) de masse m pouvant coulisser sur un rail horizontal, On repère la position de (S) par l’abscisse x(t) de son centre de gravité choisie nulle lorsque le système est au repos. Ainsi x(t) est directement l’écart à l’équilibre.
-Etude dynamique
Le solide n’est pas soumis aux forces de frottements: on dit qu’il est non amorti.
Le système étudié est le solide S et le référentiel terrestre supposé galiléen.
D’après le TCI : \(\overrightarrow P + \overrightarrow T + \overrightarrow R = {\overrightarrow a _G}\) soit: \[\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}0\\ - mg\end{array} \right. + \overrightarrow R \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right. + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l} - kx\\0\end{array} \right. = m\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}m\ddot x\\0\end{array} \right.\]
Suivant l’axe Ox, \(\ddot x + \frac{k}{m}x = 0\) (1)
C’est une équation différentielle faisant intervenir la dérivée seconde de l’équation horaire. La solution générale est de la forme \(x(t) = {x_m}\sin ({\omega _0}t + \varphi )\) (2). Avec pour dérivée seconde : \(\ddot x(t) = - {x_m}\omega _0^2\sin ({\omega _0}t + \varphi )\) (3)
Les relations (2) et (3) dans (1) conduit à: \[\omega _0^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow {\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} \] qui est la pulsation propre de l’oscillateur harmonique.
L’équation (1) est celle d’un oscillateur harmonique de période propre \[{T_0} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \] et d’équation horaire \[x(t) = {x_m}\sin (\sqrt {\frac{k}{m}} {\rm{ }}t + \varphi )\] avec OA=xm son amplitude maximale et φ sa phase à l’instant initial. Elle dépend des conditions initiales de l’expérience.
- Étude énergétique
Lorsqu’on écarte le pendule de sa position d’équilibre de OA, on lui fournit une énergie potentielle élastique: \[{E_m} = {E_{Pe}} = \frac{1}{2}k.x_m^2\] lâché sans vitesse initiale, le solide acquiert à une énergie cinétique de translation \[{E_C} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m.{\dot x^2}\]
L’énergie mécanique du système en un instant donné vaut: \({E_m} = \frac{1}{2}m.{\dot x^2} + \frac{1}{2}k.{x^2}\) soit \({E_m} = \frac{1}{2}m.{({x_m}{\omega _0}\cos ({\omega _0}t + \varphi ))^2}\) \( + \frac{1}{2}k.({x_m}\sin {({\omega _0}t + \varphi )^2}\) \( = \frac{1}{2}k.x_m^2({\cos ^2}({\omega _0}t + \varphi )\) \( + {\sin ^2}({\omega _0}t + \varphi ))\) \[{E_m} = \frac{1}{2}k.x_m^2\]
L’énergie mécanique du système se conserve au cours du mouvement de S.
Pendule élastique vertical
II.1.2 Pendule élastique vertical.
Utilisons le même pendule que précédemment avec le ressort disposé verticalement:
- Dispositif expérimental
- Étude dynamique
Le référentiel d’étude est terrestre et supposé galiléen.
À l’équilibre, point I \(\overrightarrow P + {\overrightarrow T _0} = \overrightarrow O \Rightarrow \)\(P\left| \begin{array}{l}mg\\0\end{array} \right. + {T_0}\left| \begin{array}{l} - k{x_0}\\0\end{array} \right. = O\left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.\)
Soit: \(mg - k{x_0} = 0{\rm{ }}\) (1)
Au point M, d’après le TCI \(\overrightarrow P + \overrightarrow T = m.\overrightarrow {{a_G}} \) ; \(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}mg\\0\end{array} \right. + \overrightarrow {{T_0}} \left| \begin{array}{l} - k({l_0} + {x_0} + x - {l_0})\\0\end{array} \right.\) \( = m.\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{\ddot x}\\0\end{array} \right.\). \[\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}mg\\0\end{array} \right. + \overrightarrow {{T_0}} \left| \begin{array}{l} - k({x_0} + x)\\0\end{array} \right. = m.\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{\ddot x}\\0\end{array} \right.\]
Suivant Ox, \(mg - k({x_0} + x) = m.\ddot x\) (2) (1) dans (2) conduit à: \[\ddot x + \frac{k}{m}x = 0\]
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de période propre \[{T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]
- Étude énergétique
Il est question de montrer que l’énergie mécanique d’un pendule élastique verticale se conserve, i.e. par exemple que, l’énergie de système au point d’amplitude maximale A(xm,0) est égale à l’énergie mécanique du système en un point M(x,0) quelconque.
L’origine des énergies potentielles de pesanteur étant le point O, origine de l’axe x’x.
L’origine des énergies potentielles élastiques étant le point I, point d’équilibre du solide. \({E_m}(A) = {E_{pe}} + {E_{PP}}\) \( = \frac{1}{2}k\Delta {l^2} - mgh\) \( = \frac{1}{2}k{({l_0} + {x_0} + {x_m} - {l_0})^2}\) \( - mg.{x_m}\) \( = \frac{1}{2}k{({x_0} + {x_m})^2}\) \( - mg.{x_m}\) \( = \frac{1}{2}k.x_0^2 + \frac{1}{2}k.x_m^2\) \( + {x_m}(k.{x_0} - mg)\) Soit: \[{E_m}(A) = \frac{1}{2}k.x_0^2 + \frac{1}{2}k.x_m^2\]
Au point M, on a: \({E_m}(M) = {E_C} + {E_{PP}}\)\( + {E_{Pe}}\) soit: \({E_m}(M) = \frac{1}{2}m.{v^2}\) \( + \frac{1}{2}k.{({x_0} + x)^2}\) \( - mg.x\) \( = \frac{1}{2}m.{{\dot x}^2} + \frac{1}{2}k.x_0^2\) \( + \frac{1}{2}k.{x^2}\)
Nous avons montré que pour un oscillateur harmonique, \(x(t) = {x_m}\sin (\sqrt {\frac{k}{m}} {\rm{ }}t + \varphi )\), \(v = \frac{{dx(t)}}{{dt}}\) \( = \sqrt {\frac{k}{m}} .{x_m}cos(\sqrt {\frac{k}{m}} {\rm{ }}t + \varphi )\) soit \({E_m}(M) = \frac{1}{2}k({\cos ^2}({\omega _0}t + \varphi )\) \( + {\sin ^2}({\omega _0}t + \varphi ))x_m^2\)\( + \frac{1}{2}kx_0^2\) \[{E_m}(M) = \frac{1}{2}k.x_m^2 + \frac{1}{2}k.x_0^2\]
L’énergie mécanique du pendule élastique vertical non amorti reste constante au cours des oscillations.
III Les oscillateurs en rotation
Le pendule de torsion
III.1 Le pendule de torsion
On prendra comme exemple de pendule de torsion, un système constitué d’une tige ( T) suspendue par son centre d’inertie G à un fil de torsion de constante C .
- Dispositif expérimental
Si la tige tourne d’un angle \(\theta \), alors le moment du couple de torsion est donné par : \(\mathfrak{M} = - C\theta \)
- Etude dynamique
Les forces appliquées à la tige sont: le poids, la tension du fil et le couple de torsion.
D’après le TCI \(\mathfrak{M}(\overrightarrow T ) + \mathfrak{M}(\overrightarrow P )\)\( + {\mathfrak{M}_{couple}} = {J_\Delta }\ddot \theta \) on a alors \(\mathfrak{M}(\overrightarrow T ) = 0\), \(\mathfrak{M}(\overrightarrow P ) = 0\) soit \( - C\theta = {J_\Delta }\ddot \theta \) \[\ddot \theta + \frac{C}{{{J_\Delta }}}\theta = 0\]
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique en rotation, la solution est de la forme \(\theta (t) = {\theta _{\max }}\sin ({\omega _0}t + \varphi )\) avec \(\omega _{_0}^2 = \frac{C}{{{J_\Delta }}}\) et \(T = 2\pi \sqrt {\frac{{{J_\Delta }}}{C}} \)
La période propre des oscillations ne dépend que des caractéristiques du solide et non de son amplitude.
-Étude énergétique
Il est question de montrer que l’énergie mécanique d’un pendule de torsion se conserve entre A, point d’amplitude maximale et un point quelconque M d’élongation θ.
En effet, en A \({E_m}(A) = {E_{pT}} = \frac{1}{2}C\theta _{\max }^2\)
Au point M \({E_m}(M) = {E_C} + {E_{pT}}\)\( = \frac{1}{2}{J_\Delta }\theta _{_{\max }}^2\omega _0^2{\cos ^2}({\omega _0}t + \varphi )\) \( + \frac{1}{2}C\theta _{\max }^2{\sin ^2}({\omega _0}t + \varphi )\) \[{E_m}(M) = \frac{1}{2}C\theta _{\max }^2\]
Le pendule pesant
III.2 Le pendule pesant ou pendule de gravité
C’est un système oscillant en rotation autour d’un axe Δ ne passant pas par son centre d’inertie G.
On se propose de déterminer la condition pour laquelle un pendule pesant non amorti est considéré comme oscillateur harmonique.
- Etude dynamique
Si on écarte le pendule de sa position d’équilibre stable, sous l’action de son poids, il effectue des oscillations autour de cette position. Les forces appliquées à ce solide sont: son poids et la réaction appliquée en O.
Le repère d’étude est terrestre et supposé galiléen: d’après le TCI. Le poids étant une force de rappel, nous avons, avec d=OG, \(\mathfrak{M}(\overrightarrow P ) + \mathfrak{M}(\overrightarrow R ) = {J_\Delta }\ddot \theta \) \( - dmg\sin (\theta ) + 0 = {J_\Delta }\ddot \theta \) \[\ddot \theta + \frac{{d.mg}}{{{J_\Delta }}}\sin (\theta ) = 0\]
Un pendule pesant non amorti n’est pas un oscillateur harmonique
Pour des oscillations de faible amplitude, i.e. \({\theta _{\max }} \prec {10^{\rm{0}}}\) alors \(\sin (\theta ) \approx \theta \)
L’équation (1) devient: \[\ddot \theta + \frac{{d.mg}}{{{J_\Delta }}}\theta = 0\]
Pour de faibles amplitudes, le pendule pesant est un oscillateur harmonique de pulsation propre. \(\omega _0^2 = \frac{{d.mg}}{{{J_\Delta }}}\) \({T_0} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}\)\( = 2\pi \sqrt {\frac{{{J_\Delta }}}{{d.mg}}} \)
- Étude énergétique
Il est question de montrer que l’énergie mécanique se conserve au cours des oscillations de notre pendule.
Soit \(A(\theta = {\theta _{\max }},{v_A} = 0)\) le point d’amplitude maximale. \({E_m}(A) = {E_{PP}}(A)\)\( = mg(d - d\cos ({\theta _{\max }}))\)\( = mgd(1 - \cos ({\theta _{\max }}))\)
Au point \(M(\theta ,{v_M})\) \({E_m}(M) = \)\({E_C}(M) + {E_{PP}}(M)\)\( = \frac{1}{2}{J_\Delta }{{\dot \theta }^2}\)\( + mgd(1 - \cos (\theta ))\)
Pour que l’énergie mécanique se conserve, il faut que: \(\frac{{d{E_m}(M)}}{{dt}} = 0\) En effet, \(\frac{{d{E_m}(M)}}{{dt}} = \)\({J_\Delta }\dot \theta \ddot \theta + \)\(mgd(0 - \dot \theta \sin (\theta ))\)\( = \dot \theta \left( {dmg\sin (\theta ) + {J_\Delta }\ddot \theta } \right)\)\( = 0\)
Pour un pendule pesant non amorti, l’énergie mécanique se conserve.
Montrons qu’elle se conserve également lorsque θ<100
En effet : \(\theta \prec {10^0} \Rightarrow \sin (\theta ) \approx \theta {\rm{ }}\), on a : \(\cos (\theta ) = 1 - \frac{{{\theta ^2}}}{2}\) \({E_m}(A) = \)\(mgd(1 - \)\(\cos ({\theta _{\max }}))\)\( \approx mgd(1 - 1 + \frac{{\theta _{\max }^2}}{2})\) \[{E_m}(A) = \frac{1}{2}mgd.\theta _{\max }^2\]
Au point M : \({E_m}(M) = \)\(\frac{1}{2}J_\Delta {{\dot \theta }^2} + \) \(mgd(1 - \cos (\theta ))\) \( \approx \frac{1}{2}{J_\Delta }\omega _0^2\theta _{\max }^2{\cos ^2}({\omega _0}t + \varphi )\) \( + mgd\frac{{{\theta ^2}}}{2}\) \( = \frac{1}{2}{J_\Delta }\omega _0^2\theta _{\max }^2{\cos ^2}({\omega _0}t + \varphi )\) \( + \frac{1}{2}mgd\theta _{\max }^2{\sin ^2}({\omega _0}t + \varphi )\) \[{E_m}(M) = \frac{1}{2}mgd.\theta _{\max }^2\]
L’énergie mécanique d’un pendule pesant se conserve pour des angles de faibles amplitudes.
Le pendule simple
III.3 Le pendule simple
C’est un solide de masse m, de petites dimensions accroché à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l très grande devant les dimensions du solide.
- Étude dynamique
Écarté de sa position d’équilibre et lâché sans vitesse initiale, il effectue des oscillations autour de sa position d’équilibre stable.
Il est soumis à l’action du poids et à la tension du fil. \(\mathfrak{M}(\overrightarrow P ) + \mathfrak{M}(\overrightarrow T ) = {J_\Delta }\ddot \theta \), \( - l.mg\sin (\theta ) + 0 = {J_\Delta }\ddot \theta \) avec \({J_\Delta } = m{l^2}\), on a: \( - l.mg\sin (\theta ) + 0\)\( = m.{l^2}.\ddot \theta \) \[\ddot \theta + \frac{g}{l}\sin (\theta ) = 0\]
il est aisé de dire que le pendule simple n’est pas un oscillateur harmonique. Pour des amplitudes faibles; nous avons: \({\theta _{\max }} \prec {10^{\rm{0}}}\) alors \(\sin (\theta ) \approx \theta \) \[\ddot \theta + \frac{g}{l}\theta = 0\]
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation propre et de période. \({\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{l}} \) et \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \) Avec \(\theta (t) = {\theta _{\max }}\sin ({\omega _0}t + \varphi )\)
Évaluons la vitesse de ce pendule au cours de son mouvement . D’après le théorème de l’énergie cinétique entre A et M. \(\frac{1}{2}mv_M^2 - \frac{1}{2}mv_A^2\)\( = W(\overrightarrow {P)} + W(\overrightarrow R )\) soit: \(\frac{1}{2}mv_M^2 = mg(z - {z_{\max }})\) \( = mgl(\cos (\theta )\) \( - \cos ({\theta _{\max }}))\) \[v_M^2 = 2gl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _{\max }}))\]
On montre aussi que: \[{T_M} = mg(3\cos (\theta ) - 2\cos ({\theta _{\max }}))\]
-Étude énergétique
Au point A l’énergie mécanique est égale à l’énergie potentielle de pesanteur du solide. \({E_m}(A) = {E_{pp}}(A)\) \( = mgl(1 - \cos ({\theta _{\max }}))\) \[{E_m}(A) \approx \frac{1}{2}mgl\theta _{\max }^2\]
Au point M, \({E_m}(M) = \frac{1}{2}{J_\Delta }{{\dot \theta }^2}\)\( + mgl(1 - \cos (\theta ))\) \[{E_m}(M) \approx \frac{1}{2}mgl\theta _{\max }^2\]
Em (A)=Em (M), Il y a conservation de l’énergie mécanique du système pour des angles faibles.
La période propre To d'un oscillateur correspond à la période de ses oscillations libres en l'absence d'amortissement.
IV Amortissement et entretien des oscillations
Dans la pratique, l’amplitude des oscillations d’un oscillateur diminue progressivement et le pendule fini toujours par s’immobiliser à sa position d’équilibre stable: c’est le phénomène d’amortissement des oscillations. Il est dû aux forces de frottements dont le travail provoque une diminution progressive de l’énergie mécanique du système oscillant et par conséquent la décroissance progressive de l’amplitude des oscillations.
IV.1 Cas d’un amortissement faible
L’équation du mouvement d’un oscillateur soumis aux faibles amortissement est la suivante \[\ddot \theta + \frac{\lambda }{m}\dot \theta + \frac{k}{m}\theta = 0\] λ est appelé coefficient d’amortissement. La courbe des oscillations est la suivante.
La période des oscillations reste constante et égale à T voisine de T0 \(T \succ {T_0}\)
Le mouvement est pseudo- périodique. On montre que la pseudo-période est: \[T = \frac{{2\pi }}{{{\omega _1}}} = \frac{{2\pi }}{{\sqrt {\omega _0^2 - {\lambda ^2}} }}\]
Par définition, l'amortissement très faible correspond à un coefficient d'amortissement λ très petit devant \({\omega _0}\) \(\lambda \prec \prec {\omega _0}\)
IV.2 Cas d’un amortissement important
L’amortissement est important lorsque le solide revient à sa position d’équilibre stable sans osciller: le mouvement est apériodique.
La courbe des oscillations est la suivante
On dit de ce régime qu’il est apériodique, l’amortissement est important)
Dans le cas d’un régime apériodique, il est possible d’obtenir les oscillations parfaitement régulières en les entretenant, i.e. en ajoutant au système une force extérieur appelée excitateur de pulsation variable égale à ω. Lorsque \(\omega = {\omega _0}\), on parle de résonance d’amplitude.
L’entretien des oscillations fournit de l’énergie au système pour compenser les pertes d’énergies dues aux frottements. L’équation devient : \[\ddot \theta + \frac{\lambda }{m}\dot \theta + \frac{k}{m}\theta = {F_0}\cos (\omega t)\]
NB: Un pendule bat la seconde lorsque sa demie période est égale à l’unité. \[\frac{T}{2} = 1s \Rightarrow T = 2s\]
