CORRECTION I Forces et champs

Exercice I

1. Le sens de la force de Laplace est donné par la règle des trois doigts de la main droite.2.1 Position d’équilibre. $OA = - a,$$OB = a$ et $OM = x$La résultante des forces appliquées sur la particule q’ en M est : ${\overrightarrow F _M} = {\overrightarrow F _{A/M}} + {\overrightarrow F _{B/M}} =$$- k\frac{{\left| q \right|\left| {q'} \right|}}{{A{M^2}}}\overrightarrow i + k\frac{{\left| q \right|\left| {q'} \right|}}{{B{M^2}}}\overrightarrow i$. $${\overrightarrow F _M} = k\left| q \right|\left| {q'} \right|\left( { - \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}}} \right)\overrightarrow i$$
La position d’équilibre de $q'$ est obtenue pour ${\overrightarrow F _M} = \overrightarrow 0$ soit AM=BM .
Le point M doit être confondu au point O.
2.2 Calcule de la force exercée sur q’ hors de la position d’équilibre. $AM = x + a$ et $BM = x - a$   ${\overrightarrow F _M} = k\left| q \right|\left| {q'} \right|\frac{{ - {{(x - a)}^2} + {{(x + a)}^2}}}{{{{(x - a)}^2}{{(x + a)}^2}}}\overrightarrow i$   $${\overrightarrow F _M} = k\left| q \right|\left| {q'} \right|\frac{{4ax}}{{{{({x^2} - {a^2})}^2}}}\overrightarrow i$$
3.1 Calcule de la force gravitationnelle résultante. $\overrightarrow F (x) = {\overrightarrow F _{T/P}} + {\overrightarrow F _{L/P}} =$$\overrightarrow F (x) = - G\frac{{{M_T}{m_P}}}{{{x^2}}}\overrightarrow i + G\frac{{{M_L}{m_P}}}{{{{(l - x)}^2}}}\overrightarrow i$  $$\overrightarrow F (x) = G{m_P}\left( { - \frac{{{M_T}}}{{{x^2}}} + \frac{{{M_L}}}{{{{(l - x)}^2}}}} \right)\overrightarrow i$$
3.2 Le satellite sera en équilibre lorsque la force résultante qui lui est appliquée sera nulle. $\overrightarrow F (x) = \overrightarrow 0$
Ainsi: $\left( { - \frac{{{M_T}}}{{{x^2}}} + \frac{{{M_L}}}{{{{(l - x)}^2}}}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{{{{(l - x)}^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}$  $$\frac{{l - {x_e}}}{{{x_e}}} = \pm \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} \Rightarrow {x_e} = \frac{l}{{1 \pm \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} }}$$
Deux solutions sont à envisager :
${x_e} = \frac{l}{{1 + \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} }}$  (1) et ${x_e} = \frac{l}{{1 - \sqrt {\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}} }}$(2) . La seconde solution est supérieure à l alors que le satellite est entre la terre et la lune. Elle est à exclure. $${x_e} = \frac{{9l}}{{10}} = 3,46 \times {10^5}km$$