CORRECTION IV Application des lois de Newton

Exercice IV

1. La trajectoire de la masse m fixée au fil est un arc de cercle de rayon L et de centre O.
2. Expression de l’énergie potentielle en B: ${E_{PP}}(B) = mgh$
La différence d'altitude entre A et B notée h, alors $h = H\sin (\alpha )$ avec $H{\rm{ }} = {\rm{ }}OA - OB\cos (\theta ){\rm{ }}$$= {\rm{ }}OA(1 - \cos (\theta ))$ alors $h{\rm{ }} =$$L(1 - \cos {\rm{ }}(\theta ))\sin (\alpha )$ $${E_P}(B) = mgL(1 - \cos {\rm{ }}(\theta ))\sin (\alpha )$$
3. Expression de la vitesse au point A, à la position d'équilibre , l'énergie est sous forme cinétique. D’après le théorème de l’énergie cinétique. $\frac{1}{2}mv_A^2 - \frac{1}{2}mv_B^2$$= mgh$ alors $${v_A} = \sqrt {2gL(1 - \cos {\rm{ }}(\theta ))\sin (\alpha )}$$
4. L’énergie mécanique de la particule au point B se conserve: c’est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur. ${E_m} = \frac{1}{2}m{L^2}{\dot \theta ^2}$$+ mgL(1 - \cos (\theta ))\sin (\alpha )$$= cte$
Pour de petites oscillations : $\sin (\theta ) \approx \theta$ et $\cos (\theta ) \approx 1 - \frac{{{\theta ^2}}}{2}$ Ainsi: $${E_m} = \frac{1}{2}m{L^2}{\dot \theta ^2} + \frac{1}{2}mgLsin(\alpha ){\theta ^2}$$
5. Etablissons l’équation différentielle des oscillations : $\frac{{d{E_m}}}{{dt}} =$$\frac{1}{2}2m{L^2}\dot \theta \ddot \theta +$$\frac{1}{2}mgLsin(\alpha )2\theta \dot \theta = 0$ $$\ddot \theta + \frac{g}{l}\sin (\alpha )\theta = 0$$
6. Pendule simple oscillant sur la lune.  $\omega _0^2 = \frac{g}{L}\sin (\alpha )$ $\Rightarrow T =$ $2\pi \sqrt {\frac{L}{{g\sin (\alpha )}}}$ et ${T_L} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{{{g_L}}}}$ $= 2\pi \sqrt {\frac{{6L}}{{{g_T}}}}$$= 2\pi \sqrt {\frac{L}{{g\sin (\alpha )}}}$ $\Rightarrow$  $\frac{1}{{\sin (\alpha )}} = 6$ $$\alpha = {\sin ^{ - 1}}(\frac{1}{6}) = 9,{59^0}$$

CORRECTION VI Les oscillateurs mécaniques

Exercice VI

1. Calcule du moment d’inertie de l’ensemble. D’après le théorème de Huygens: $J = {J_0} + (m + m){d^2}$$= \frac{1}{2}M{R^2} + 2m{d^2}$
2. Nous avons montré que l’équation différentielle régissant les oscillations d’ un pendule de torsion est: ${\omega _0} = \sqrt {\frac{C}{{{J_\Delta }}}}$ $${T^2} = 4{\pi ^2}\frac{{\frac{1}{2}M{R^2} + 2m{d^2}}}{C}$$ ${T^2} = 0,16 + 8{d^2}$
Traçons la courbe ${T^2} = f({d^2})$Si on enlevait les masses m et m’, alors d=0. $T_0^2 = 0,16{s^2}$$\Rightarrow {T_0} = 0,4s$
3.1 On l’abandonne à lui-même à l’instant t=0s.  ${\theta _0} = 1$ rad, $d = \frac{R}{2} = 10$ cm et ${J_1} = 0,16 + 8(10 \times {10^{ - 2}})$$= 0,24$ kg.m²  ${\omega _1} = \sqrt {\frac{C}{{{J_1}}}}$
3.1 L’équation du mouvement du pendule. $\theta (t) = \theta sin({\omega _1}t + \varphi )$ alors $\theta (0) = {\theta _0} = 1$ rad $= 1sin(\varphi )$ donc $\sin (\varphi ) = 1 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}$
3.2 L’expression de la vitesse instantanée: $\dot \theta (t) = \frac{{d\theta (t)}}{{dt}}$ $$\dot \theta (t) = {\theta _0}{\omega _1}\cos ({\omega _1}t + \frac{\pi }{2})$$

CORRECTION VII Les oscillateurs mécaniques

Exercice VII

1. Si nous supposons l la longueur du ressort à l’équilibre.
Alors, d’après la condition d’équilibre: $\overrightarrow {{T_e}} \left| \begin{array}{l} - k(l - {l_0})\\0\end{array} \right.$ $+ \overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - (m + m')g\\0\end{array} \right.$ $= \overrightarrow 0 \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.$ $$\Delta {z_{eq}} = - \frac{{m + m'}}{k}g$$ Cette position est prise comme position de référence.
2. Équation différentielle des oscillations.
On repère le solide en z après l’avoir écarté de d de sa positon d’équilibre et lâché sans vitesse initiale, Considérons, pour déterminer l’équation des oscillations, le système constitué d’un solide de masse (m+m’) et de raideur k. D’après le TCI appliqué au solide dans le référentiel Oz supposé galiléen: $\overrightarrow T \left| \begin{array}{l} - k(z + l - {l_0})\\0\end{array} \right.$ $+ \overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - (m + m')g\\0\end{array} \right.$ $= (m + m')\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{\ddot z}\\0\end{array} \right.$ $\Rightarrow$$- kz - k(l - {l_0})$$- (m + m')g =$ $(m + m')\ddot z$ $$\ddot z + \frac{k}{{m + m'}}z = 0$$
C’est l’équation différentielle vérifiée par z de pulsation: $\omega _0^2 = \frac{k}{{m + m'}}$ La loi horaire est de la forme: $z(t) = - d\sin ({\omega _0}t + \varphi )$
à t=0,  z(0)=-d: $- d = - d\sin (\varphi )$ $\Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}$ ainsi,$z(t) = - d\sin ({\omega _0}t + \frac{\pi }{2})$ $= - d\cos ({\omega _0}t)$
3. Expression de la réaction exercée sur le plateau.
Au point de contact entre le solide et le plateau, on a: $\overrightarrow R \left| \begin{array}{l}R\\0\end{array} \right. + \overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - mg\\0\end{array} \right.$ $= m\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{\ddot z}\\0\end{array} \right.$ $\Rightarrow$$R = m\ddot z + mg$ $$R = m(d\omega _0^2\cos ({\omega _0}t) + g)$$
4. Le solide va décoller si R=0, $d\omega _0^2\cos ({\omega _0}t) + g = 0$ $\Rightarrow \cos ({\omega _0}t) =$ $- \frac{g}{{d\omega _0^2}}$
Cette égalité est possible si et seulement si $- 1 \le \cos ({\omega _0}t) \le 1$ $\Rightarrow$$- 1 \le - \frac{g}{{d\omega _0^2}} \le 1$ $$d\omega _0^2 \prec g$$

CORRECTION VIII Les oscillateurs mécaniques

Exercice VIIIOn fait tourner le disque d’un angle θ_m comme indiqué sur le schéma. Ainsi: $\mathfrak{M}\left( {\overrightarrow P } \right) + \mathfrak{M}\left( {\overrightarrow R } \right)$$+ {\mathfrak{M}_C} = {J_\Delta }\ddot \theta$$\Rightarrow$$0 + 0 - 2C\theta = {J_\Delta }\ddot \theta$  $$\ddot \theta + \frac{{4C}}{{M{R^2}}}\theta = 0$$ C’est l’équation différentielle d'un oscillateur mécanique de pulsation $${\omega _0} = \sqrt {\frac{{4C}}{{M{R^2}}}}$$    ${\omega _0} = 6,32$ rad/s
2.1 Équation différentielle des oscillations ; ${E_m} = {E_C} +$ ${E_{PT}} + {E_{PP}}$ avec ${E_C} = \frac{1}{2}{J_\Delta }{\dot \theta ^2}$$+ \frac{1}{2}m{v^2} =$ $\frac{1}{2}{J_\Delta }{\dot \theta ^2} +$ $\frac{1}{2}m{R^2}{\dot \theta ^2}$, ${E_C} = \frac{1}{2}M{R^2}{\dot \theta ^2}$, ${E_{PT}} = \frac{1}{2}2C{\theta ^2}$$= C{\theta ^2}$ et ${E_{PP}} = mgz$$= mgR(1 - cos(\theta ))$. on aura alors: $\frac{{d{E_m}}}{{dt}} = \frac{{d{E_C}}}{{dt}} +$ $\frac{{d{E_{PP}}}}{{dt}} + \frac{{d{E_{PT}}}}{{dt}} = 0$
Après dérivation, on obtiendra: $M{R^2}\ddot \theta + 2C\theta$$+ \frac{M}{2}gR\sin (\theta ) = 0$
C’est n’est pas l’équation d’un oscillateur harmonique. Pour θ<10⁰
$sin(\theta ) \approx \theta$ et l’équation précédente devient: $$\ddot \theta + \frac{{(2C + \frac{M}{2}gR)}}{{M{R^2}}}\theta = 0$$ 2.2 Expression de la période des oscillations du disque: ${\omega _0} = \sqrt {\frac{{2C + \frac{M}{2}gR}}{{M{R^2}}}}$ $\Rightarrow T =$$2\pi \sqrt {\frac{{M{R^2}}}{{2C + \frac{M}{2}gR}}}$