Exercice I
1.1 Calcule de la période des oscillations. D’après l’équation différentielle des petites oscillations d’un pendule élastique vertical: \[\ddot x + \frac{k}{m}x = 0 \Rightarrow \omega _0^2 = \frac{k}{m}\] On a montré qu’au point d’équilibre, \(mg - k\Delta x = 0 \Rightarrow \frac{k}{m} = \frac{g}{{\Delta x}}\) soit: \({T^2} = 4{\pi ^2}\frac{k}{m}\)\( = 4{\pi ^2}\frac{g}{{\Delta x}}\) \[T = 2\pi \sqrt {\frac{g}{{\Delta x}}} \] \(T = 62,83{\rm{s}}\) et \(k = m\frac{g}{{\Delta x}} = 20N/m\)
1.2 Amplitude maximale des oscillations, on a montré que l’énergie totale d’un oscillateur est: \[{E_m} = \frac{1}{2}kx_m^2 \Rightarrow {x_m} = \sqrt {\frac{{2{E_m}}}{k}} \] \({x_m} = 6,4{\rm{cm}}\)
1.3 Calcule de la vitesse du solide au passage par sa position d’équilibre.
Expression de l’élongation du solide, elle est de la forme: \(x(t) = 6,4\sin ({\omega _0}t + \varphi )\) en cm. À t=0s \(x(0) = {x_m}\) soit \(\varphi {\rm{ = }}\frac{\pi }{2}\) et \[x(t) = 6,4\sin ({\omega _0}t + \frac{\pi }{2})\]
À sa position d’équilibre: \(t = \frac{T}{4},3\frac{T}{4},(2n + 1)\frac{T}{4}\) avec \(n \in N\). \(v = \frac{{dx}}{{dt}}\) \( = 6,4 \times {\omega _0}\cos (\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2})\)\( = - 6,4 \times {\omega _0}\), \(v = 6,4 \times {\omega _0}\) \( = 6,4\sqrt {\frac{k}{m}} = 64\)cm avec \({\omega _0}t = \frac{{2\pi }}{T} \times \frac{T}{4} = \frac{\pi }{2}\)
Le signe moins est justifié par le sens du vecteur vitesse.
1.4 Calcule de l’intensité de la force de rappel: \(T = - k.x = m\omega _0^2x\), \[T = - 1,28\sin (10t + \frac{\pi }{2})\] À t=0,25s, \(T = - 1,28\sin (10 \times 0,25 + \frac{\pi }{2})\) \( = - 9 \times {10^{ - 2}}N\)
Le signe moins est justifié par le sens de déplacement du mobile à cet instant, la force de rappel s’oppose toujours au déplacement du mobile.
Énergie cinétique du mobile à t=0,25s : \({E_C} = \frac{1}{2}k.{{\dot x}^2}\) \( = \frac{1}{2}kx_m^2{\cos ^2}(10t + \frac{\pi }{2})\) \({E_C} = 4 \times {10^{ - 2}}J\)
2.1 Calcule de la constante de raideur équivalente
a) Appliquons au ressort une force d’intensité F telle que indique sur la figure à l’équilibre.
\(\overrightarrow F \) est alors la force de rappel résultante, Si k est la constance de raideur résultante, alors: \( - {k_1}x - {k_2}x = \)\( - ({k_1} + {k_2})x = \)\( - kx\) \[k = ({k_1} + {k_2})\] 
b) Lorsqu’on comprime le ressort de raideur k1 de x cm, le ressort de raideur k2 s’étire également de x cm. Si k est la constance de raideur du ressort équivalent, et F la force de rappel résultante, alors: \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow F \), \( - {k_1}x - {k_2}x = \)\( - ({k_1} + {k_2})x = \)\( - kx\) \[k = {k_1} + {k_2}\]
c) La tension est égale en tout point. Si nous désignons pa
r x1 l’allongement du ressort de raideur k1, x2 celui du ressort k2, x l’allongement résultant et k la constante de raideur résultant, alors:
Au point A, \({T_1} = {T_2}\) \({k_1}{x_1} = {k_2}{x_2} = kx\) et \(x = {x_1} + {x_2}\) ainsi: \({x_1} = k\frac{x}{{{k_1}}},\) \({x_2} = k\frac{x}{{{k_2}}}\) \(x = k\frac{x}{{{k_1}}} + k\frac{x}{{{k_2}}}\) \( \Rightarrow \frac{x}{k} = \frac{x}{{{k_1}}} + \frac{x}{{{k_2}}}\) \[\frac{1}{k} = \frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}}\]
2.2 Équation différentielle
a) et b) \[\ddot x + \frac{{{k_1} + {k_2}}}{m}x = 0{\rm{ }}\]
c) \[\ddot x + \frac{{{k_1}{k_2}}}{{m({k_1} + {k_2})}}x = 0\]
Exercice II
1. Schématisation
2. Expression de la vitesse au point B
D’après le théorème de l’énergie cinétique: \(\Delta {E_C} = W(\overrightarrow P ) + W(\overrightarrow T )\) avec \(W(\overrightarrow P ) = \) \(mgl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))\) Soit \(\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 = \) \( - mg(h - {h_0})\) \( = mgl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))\) \[v_B^2 = v_A^2 + 2gl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))\]
3. Intensité de la tension du fil.
Supposons le référentiel d’étude galiléen et appliquons le TCI dans la base de Frenet \((G,\overrightarrow n ,\overrightarrow \tau )\)
\(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right.\)\( + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right.\)\( = m\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}\frac{{v_G^2}}{l}\\l\ddot \theta \end{array} \right.\)
Suivant \(\overrightarrow \tau \), \( - mg\sin (\theta ) = ml\ddot \theta \) \[\ddot \theta + \frac{g}{l}\sin (\theta ) = 0\]
C’est l’équation différentielle des oscillations du pendule simple
Suivant \(\overrightarrow n \), \({T_B} = mg\cos (\theta ) + m\frac{{v_B^2}}{l}\): \(T = mg[3\cos (\theta )\)\( - 2\cos ({\theta _0})]\)\( + m\frac{{v_A^2}}{l}\)
Exercice III
1. Les oscillations sont libres, sinusoïdales, périodiques et non amorties: d’après les figures 1 et 2, l'amplitude ne diminue pas au cours du temps.
2. De la figure 1, T=2s.
3.1 Le solide S est soumis à:
Son poids, vertical, vers le bas,La réaction du rail, vertical, vers le haut et une force de rappel exercée par le ressort, proportionnelle à l'allongement.
D’après le TCI: \(\overrightarrow P + \overrightarrow T + \overrightarrow R = {\overrightarrow a _G}\) soit \(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}0\\ - mg\end{array} \right. + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l} - kx\\0\end{array} \right.\)\( + \overrightarrow R \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right.\)\( = m\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{\ddot x}\\0\end{array} \right.\)
Suivant Ox: \(\ddot x + \frac{k}{m}x = 0\) (1)
3.2 Calcule de la constante de raideur: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{k}{m}} \) \[k = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}m\] \(k = 0,5N/m\)
4.1 La solution de l’équation (1) est de la forme: \(x(t) = {x_m}\sin ({\omega _0}t + \varphi )\). On peut lire, à partir de la figure 1 xm=2,5 cm. À t=0s, x(0)=xm=2,5 cm soit \({x_m} = {x_m}\sin (\varphi )\)\( \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}\) \(x(t) = 2,5\sin ({\omega _0}t + \frac{\pi }{2})\) avec \({\omega _0} = \frac{{2\pi }}{T} = \pi \) et \(v(t) = \frac{{d.x(t)}}{{dt}}\)\( = 2,5\pi \cos (\pi t + \frac{\pi }{2})\) en cm/s
5. Complétons le tableau:
| t(s) | 0 | 0,5 | 1 | T |
| x(m) 10-2 | 2,5 | 0 | -2,5 | 2,5 |
| EPe(J) 10-4 | 1,6 | 0 | 1,6 | 1,6 |
| v(m/s)10-2 | 0 | 8 | 0 | 0 |
| EC(J) 10-4 | 0 | 1,6 | 0 | 0 |
| Em(J) 10-4 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,6 |
On fait les calculs à partir de: \({E_{Pe}} = \frac{1}{2}k{x^2}\), \({E_C} = \frac{1}{2}m{v^2}\) et \({E_m} = {E_{Pe}} + {E_C}\). Il y a bien conservation de l’énergie mécanique.
Exercice V
1. Expression de la longueur du ressort à l’équilibre
\(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}mg\sin (\alpha )\\ - mg\cos (\alpha )\end{array} \right.\) \( + \overrightarrow R \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right.\) \( + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l} - k({x_e} - {x_0})\\0\end{array} \right.\) \( = \overrightarrow 0 \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow mg\sin (\alpha )\) \( = k({x_e} - {x_0})\) \[{x_e} = \frac{{mg\sin (\alpha )}}{k} + {x_0}\]
2.1 On repère le solide en x après l’avoir écarté de xm de sa positon d’équilibre et lâché sans vitesse initiale: \(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}mg\sin (\alpha )\\ - mg\cos (\alpha )\end{array} \right.\) \( + \overrightarrow R \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right.\) \( + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l} - k(x + {x_e} - {x_0})\\0\end{array} \right.\)\( = m{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{\ddot x}\\0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(mg\sin (\alpha )\)\( - k(x + {x_e} - {x_0})\) \( = m\ddot x\) soit \(\underbrace {mg\sin (\alpha ) - k({x_e} - {x_0})}_0\)\( - kx = m\ddot x\) \[\ddot x + \frac{k}{m}x = 0\] C’est un oscillateur harmonique de période \(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \)
3. Expression de l’énergie mécanique du solide. L’origine de énergie potentielle élastique est prise au point x=x0\({E_m} = {E_C} + {E_{PP}}\)\( + {E_{Pe}}\)\( = \frac{1}{2}m{{\dot x}^2}\)\( - mgx\sin (\alpha )\)\( + \frac{1}{2}k{(x + {x_e} - {x_0})^2}\)
4. Montrer que l’énergie du système se conserve, c’est montrer que l’énergie mécanique ne varie pas en fonction du temps. C’est à dire que:\(\frac{{d{E_m}}}{{dt}} = 0\)
\(\frac{{d{E_m}}}{{dt}} = \) \(m\dot x\ddot x - mg\sin (\alpha )\dot x\)\( + k(x + {x_e} - {x_0})\dot x\) \( = \dot x[m\ddot x - mg\sin (\alpha )\)\( + kx + k({x_e} - {x_0})]\) \( \Rightarrow \) \(\dot x[\underbrace {m\ddot x + kx}_0\) \(\underbrace { - mg\sin (\alpha ) + k({x_e} - {x_0})}_0]\)\( = 0\) \[\frac{{d{E_m}}}{{dt}} = 0\] Le système est conservatif.
Exercice VI
1. Calcule du moment d’inertie de l’ensemble. D’après le théorème de Huygens: \(J = {J_0} + (m + m){d^2}\)\( = \frac{1}{2}M{R^2} + 2m{d^2}\)
2. Nous avons montré que l’équation différentielle régissant les oscillations d’ un pendule de torsion est: \({\omega _0} = \sqrt {\frac{C}{{{J_\Delta }}}} \) \[{T^2} = 4{\pi ^2}\frac{{\frac{1}{2}M{R^2} + 2m{d^2}}}{C}\] \({T^2} = 0,16 + 8{d^2}\)
Traçons la courbe \({T^2} = f({d^2})\)
Si on enlevait les masses m et m’, alors d=0. \(T_0^2 = 0,16{s^2}\)\( \Rightarrow {T_0} = 0,4s\)
3.1 On l’abandonne à lui-même à l’instant t=0s. \({\theta _0} = 1\) rad, \(d = \frac{R}{2} = 10\) cm et \({J_1} = 0,16 + 8(10 \times {10^{ - 2}})\)\( = 0,24\) kg.m2 \({\omega _1} = \sqrt {\frac{C}{{{J_1}}}} \)
3.1 L’équation du mouvement du pendule. \(\theta (t) = \theta sin({\omega _1}t + \varphi )\) alors \(\theta (0) = {\theta _0} = 1\) rad \( = 1sin(\varphi )\) donc \(\sin (\varphi ) = 1 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}\)
3.2 L’expression de la vitesse instantanée: \(\dot \theta (t) = \frac{{d\theta (t)}}{{dt}}\)\[\dot \theta (t) = {\theta _0}{\omega _1}\cos ({\omega _1}t + \frac{\pi }{2})\]
Exercice VIII
On fait tourner le disque d’un angle θm comme indiqué sur le schéma. Ainsi: \(\mathfrak{M}\left( {\overrightarrow P } \right) + \mathfrak{M}\left( {\overrightarrow R } \right)\)\( + {\mathfrak{M}_C} = {J_\Delta }\ddot \theta \)\( \Rightarrow \)\(0 + 0 - 2C\theta = {J_\Delta }\ddot \theta \) \[\ddot \theta + \frac{{4C}}{{M{R^2}}}\theta = 0\] C’est l’équation différentielle d'un oscillateur mécanique de pulsation \[{\omega _0} = \sqrt {\frac{{4C}}{{M{R^2}}}} \] \({\omega _0} = 6,32\) rad/s
2.1 Équation différentielle des oscillations ; \({E_m} = {E_C} + \) \({E_{PT}} + {E_{PP}}\) avec \({E_C} = \frac{1}{2}{J_\Delta }{\dot \theta ^2}\)\( + \frac{1}{2}m{v^2} = \) \(\frac{1}{2}{J_\Delta }{\dot \theta ^2} + \) \(\frac{1}{2}m{R^2}{\dot \theta ^2}\), \({E_C} = \frac{1}{2}M{R^2}{\dot \theta ^2}\), \({E_{PT}} = \frac{1}{2}2C{\theta ^2}\)\( = C{\theta ^2}\) et \({E_{PP}} = mgz\)\( = mgR(1 - cos(\theta ))\). on aura alors: \(\frac{{d{E_m}}}{{dt}} = \frac{{d{E_C}}}{{dt}} + \) \(\frac{{d{E_{PP}}}}{{dt}} + \frac{{d{E_{PT}}}}{{dt}} = 0\) 
Après dérivation, on obtiendra: \(M{R^2}\ddot \theta + 2C\theta \)\( + \frac{M}{2}gR\sin (\theta ) = 0\)
C’est n’est pas l’équation d’un oscillateur harmonique. Pour θ<100
\(sin(\theta ) \approx \theta \) et l’équation précédente devient: \[\ddot \theta + \frac{{(2C + \frac{M}{2}gR)}}{{M{R^2}}}\theta = 0\] 2.2 Expression de la période des oscillations du disque: \({\omega _0} = \sqrt {\frac{{2C + \frac{M}{2}gR}}{{M{R^2}}}} \) \( \Rightarrow T = \)\(2\pi \sqrt {\frac{{M{R^2}}}{{2C + \frac{M}{2}gR}}} \)
