Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2013

Exercice n° 1

On considère la fonction numérique f d’une variable réelle définie par : $f(x) = ({x^2} + 1){e^x}$
1. Étudier les variations de f et sa convexité.
2. Tracer le graphe de f.
3. Calculer : $I = \int\limits_{ - 1}^0 {(x)dx}$
4. Pour quelle valeur du paramètre $\alpha$ a-t-on $I = \int\limits_{ - 1}^\alpha {(x)dx}$ $= 2e - 3$ ?
5. On considère la fonction numérique g d’une variable réelle définie par : $g(x) = {({x^2} + 1)^k}{e^x}$ où k est un nombre réel strictement supérieur à 1 dans cette question. Étudier ses variations.
6. Étudier la convexité de g pour k=1/2.