Correction exercice n° 1
On considère la fonction numérique f d’une variable réelle définie par :
\(f(x) = ({x^2} + 1){e^x}\)
1. Etudions les variations de f et sa convexité.
Sa dévirée est donnée par : \(f'(x) = ({x^2}\) \( + 2x + 1){e^x}\)
La fonction est donc strictement croissante à valeurs dans \(\left[ {0; + \infty } \right[\) et elle admet une branche parabolique dans la direction Oy en \({ + \infty }\)
2. Traçons le graphe de f.
La fonction est strictement croissante. On a une tangente horizontale au point \(\left( { - 1,\frac{2}{e}} \right)\) et l’axe Ox est une asymptote horizontale à \( - \infty \)
3. Calculons : \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} \)
\(I = \) \(\int\limits_{ - 1}^0 {({x^2} + 1){e^x}dx} \) \( = \) \(\left[ {({x^2} + 1){e^x}} \right]_{ - 1}^0\) \( - 2\int\limits_{ - 1}^0 {x{e^x}dx} \) \( = \) \(\left( {1 - \frac{2}{e}} \right) - \) \(2\left[ {x{e^x}} \right]_{ - 1}^0\) \( + 2\int\limits_{ - 1}^0 {{e^x}dx} \)
Soit : \(I = 3 - \frac{6}{e}\)
4. Valeur du paramètre \(\alpha \) pour laquelle \(\int\limits_0^\alpha {f(x)dx} \) \( = 2e - 3\)
Une primitive de f est \(F(x) = ({x^2} - 2x\) \( + 3){e^x}\)
Il faut donc : \(F(\alpha ) - F(0)\) \( = F(\alpha ) - 3\) \( = 2e - 3\)
5. Soit \(g(x) = \) \(({x^2} + 1){e^k}\) où k est un nombre réel strictement supérieur à 1.
Etudions ses variations.
Remarquons que la fonction f correspond à la fonction g pour k=1. Cette dérivée s’annule pour : \((1 + 2kx + {x^2})\) \( = 0\)
On obtient alors deux racines \({x_{1,2}} = \) \( - k \pm \sqrt {{k^2} - 1} \)
La fonction est décroissante entre ces deux racines et croissante à l’extérieur.
6. Etudions la convexité de g pour : \(k = \frac{1}{2}\)
On obtient : \(g''(x) = \) \({({x^2} + 1)^{ - \frac{3}{2}}}\) \({e^x}({x^4} + 2{x^3} + \) \(2{x^2} + 2x + 2)\). Le signe de cette expression est donc celui de : \(z = ({x^4} + 2{x^3}\) \( + 2{x^2} + 2x\) \( + 2)\). Sa dérivée est \(z' = (x + 1)\) \((2{x^2} + x + 2)\)
Elle s’annule en -1, z est égal à 1 pour cette valeur et reste toujours positive, donc la fonction est convexe.
Correction exercice n° 2
On considère la suite (un ) définie, pour n entier naturel, par : \({u_0} = 1\) et \({u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\)
1. Traçons le graphe de la fonction f définie pour \(x \ge 1\) par : \(f(x) = 1 + \frac{1}{x}\)
Sa dérivée est égale à \(f'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
2. Étudions la convergence de la suite (un ) .
On vérifie par récurrence que \({u_n} \succ 1\) pour \(n \succ 1\). L’examen du graphe de f nous conduit à considérer la suite des termes de rang pair et celle de rang impair. On a : \({u_{2n}} = \) \(\frac{{1 + 2{u_{2n - 2}}}}{{1 + {u_{2n - 2}}}}\)
La suite (u2n ) est croissante et majorée par : \(l = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
La suite (u2n+1 ) vérifie la même relation, elle est décroissante et minorée par l. Les deux suites sont convergentes vers l, et donc aussi (un ) .
3. Calculons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {\frac{{f(t)}}{t}dt} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {\frac{{f(t)}}{t}dt} = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {\left( {\frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt\) \( = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln x - \frac{1}{x} + 1} \right)\) \( = + \infty \)
4. Soit \({I_\alpha }(x) = \) \(\int\limits_1^x {\frac{{f(t)}}{{{t^\alpha }}}dt} \)
Valeurs de \(\alpha \) pour que \({I_\alpha }(x)\) admette une limite finie quand \(x \to \) \( + \alpha \)
On sait que : \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^\alpha }}}dt} \) est convergente si et seulement si \(\alpha \succ 1\) donc il faut que \(\alpha \succ 1\)
