Correction exercice n° 1
1. Calcule de la derivee de \({x^2}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (x)\) en x=1
En effet, de la formule : si \(u(x) = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (x)\) alors \(\dot u(x) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\) et \((uv)' = \dot uv + u\dot v\). Ainsi :
\(f'(x) = 2x{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (x)\) \( + \frac{{{x^2}}}{{1 + {x^2}}}\)
Ainsi : \(f'(1) = 2.1.{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (1)\) \( + \frac{1}{2} = 2\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\) \( = \frac{{\pi + 1}}{2}\)
2. Calcule de l’intégrale \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{Log(x)}}{x}} dx\) , en effet : \(I = \) \(\left[ {\frac{1}{2}{{(Log(x))}^2}} \right]_1^2\) \( = \frac{{{{(Log(2))}^2}}}{2}\)
3. Résolvons l’équation : \({x^3} - 6{x^2} + \) \(11x - 6 = 0\)
Sans calculer, on constate que x=1 est racine de l’équation précédente, ainsi, par une simple division euclidienne, nous avons : \({x^3} + 11x - \) \(6 - 6{x^2} = \) \((x - 1)(x - 2)\) \((x - 3) = 0\) d’où x=1, 2, 3.
4. Déterminons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} dt\)
On a : \(\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = 1 - \frac{1}{{t + 2}}\) soit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}dt} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {(1 - \frac{1}{{t + 2}})dt} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [x - \) \(\ln (x + 2) - 1 + \) \(\ln (3)] = + \infty \)
5. Résolvons l’inéquation \(\frac{{{x^2} - 2}}{{x - 1}} \le 0\), il faut que \({x - 1 \ne 0}\), d’où le tableau de signe :
L’ensemble des solutions de l’inéquation est \(x \in \left] { - \infty , - \sqrt 2 } \right]\) \( \cup \left] {1,\sqrt 2 } \right]\)
6. Donnons l’équation de la droite dans le plan, qui passe par le point \(A(1, - 1)\) et parallèle au vecteur \(\overrightarrow u (1,2)\). Soit \(M(x,y)\) un point de la droite, les vecteurs \(\overrightarrow u (1,2)\) et \(\overrightarrow {AM} \left( \begin{array}{l}x - 1\\y + 1\end{array} \right)\) doivent être colinéaire \(\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow u = \overrightarrow 0 \), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1}&1\\{y + 1}&2\end{array}} \right| = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 2 - \) \(y - 1 = 0\) \( \Rightarrow \) \(y = 2x - 3\)
L’équation de la droite est \(y = 2x - 3\)
7. Résolvons le système d’équations : \(\left\{ \begin{array}{l}\ln (x) + \ln (y) = 2\\x + y = \frac{5}{2}e\end{array} \right.\)
De la relation, \(\ln (x) + \ln (y)\) \( = \ln (xy)\) , on a \(\left\{ \begin{array}{l}xy = {e^2}\\x + y = \frac{5}{2}e\end{array} \right.\) \( \Rightarrow y = \frac{{{e^2}}}{x}\) d’où \(2{x^2} - 5ex\) \( + 2{e^2} = 0\)
L’ensemble des solutions est : \((x,y) = (2e,\frac{e}{2})\) ou \((\frac{e}{2},2e)\)
8. Déterminons la limite, si elle existe, de la suite \({({u_n})_{n \in N}}\) définie par : \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}{u_n}\) et \({u_0} \succ 0\) \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}{u_n}\) \( = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} \times \frac{n}{{n + 1}}{u_{n - 1}}\) \( = \frac{2}{{n + 2}}{u_{n - 1}}\) \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 2}}{u_{n - 1}}\) \( = ... = {u_{n + 1}}\) \( = \frac{2}{{n + 2}}{u_0}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({u_{n + 1}}) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{2}{{n + 2}}{u_0}} \right)\) \( \to 0\)
9. Calcule du temps réalisé par ce relais
Le premier coureur parcourt 1 km en \(\frac{{60}}{{14}} = 4,2857mn\)
Le deuxième coureur parcourt 1 km en \(\frac{{60}}{{17}} = 3,5294mn\)
Le troisième coureur parcourt 1 km en \(\frac{{60}}{{16}} = 3,75mn\)
Au total, le temps est : \(\frac{{60}}{{14}} + \frac{{60}}{{17}}\) \( + \frac{{60}}{{16}} = \) \(144mn \approx 2h24\).
10. Déterminons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - \sin (x)}}{{{x^3}}}\) \( = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - (x - {x^3}/6)}}{{{x^3}}}\) \( = \frac{1}{6}\)
NB : Du développement de Taylor à l’ordre 3 de \(\sin (x)\), on a \(\sin (x) \approx x - \frac{{{x^3}}}{6} + ...\)
Correction exercice n° 3
On considère la fonction numérique f définie par : \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{1 + {x^2}}}\)
1. Etudions les variations de la fonction f(x).
La dérivée de f est : \(f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\) et elle s’annule pour \(x \pm 1\)
La fonction est décroissante de moins l’infini à -1 et à valeurs dans l’intervalle \(\left[ {\frac{1}{2},1} \right[\)
elle est croissante de -1 à 1 et à valeurs dans l’intervalle ½, 3/2, et elle est décroissante de 1 à plus l’infini et à valeurs dans l’intervalle 3/2, 1.
2. Traçons le graphe de f.
3. Précisons les points d’inflexion de son graphe. Les points d’inflexion correspondent aux valeurs qui annulent la dérivée seconde. Le numérateur de la dérivée seconde est égal à :
\( - 2x{(1 + {x^2})^2}\) \( - (1 - {x^2})\) \(4x(1 + {x^2}) = \) \(2x({x^2} - 3)\)
On obtient donc 3 points d’inflexion, à savoir : \((0,1);\) \((\sqrt 3 ,1 + \frac{{\sqrt 3 }}{4});\) \(( - \sqrt 3 ,1 - \frac{{\sqrt 3 }}{4})\)
4. Calcule \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {(f(x) - 1)dx} \), comme f(x)-1 est impaire, I=0.
Correction exercice n° 4
On considère la fonction f définie sur l'intervalle \(\left] {0, + \infty } \right[\) par : \(f(x) = \) \(2x - \frac{{\ln (x)}}{{{x^2}}}\)
On note C la courbe représentative de la fonction f(x) dans le plan, muni d'un repère orthogonal et ln désigne le logarithme népérien.
1. Déterminons les limites de la fonction f en 0 et en \( + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2x - \frac{{\ln (x)}}{{{x^2}}})\) \( \to + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x - \frac{{\ln (x)}}{{{x^2}}})\) \( \to + \infty \)
2. Démontrons que la courbe C admet une asymptote oblique D, et étudions la position relative de la courbe C et de la droite D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = 2\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - 2x)\) \( = 0\)
La courbe admet donc une asymptote oblique D d’équation : y=2x.
3. Etudions les variations de la fonction f(x).
La dérivée de f est égale à \(f'(x) = \) \(\frac{{2{x^3} - 1 + 2\ln (x)}}{{{x^3}}}\) et elle est du signe de \(g(x) = 2{x^3}\) \( - 1 + 2\ln (x)\) , qui a pour dérivée : \(g'(x) = \) \(6{x^2} + \frac{2}{x} \succ 0\)
La fonction g est donc strictement croissante à valeurs dans R et comme elle est continue, elle est bijective. Il existe donc une unique valeur \(\alpha \) qui annule g, et f est décroissante entre 0 et \(\alpha \), puis croissante.
4. Tracer la courbe C.
La courbe C admet D comme asymptote oblique, l’axe Oy comme asymptote verticale et un minimum en \(\alpha \)
5. Calculons \({I_n} = 2\int\limits_1^n {\frac{{\ln (x)}}{{{x^2}}}} dx\)
En posant \(u = \ln (x)\) et \(v = \frac{1}{{{x^2}}}\) et en intégrant par parties, nous avons \({I_n} = 2\) \(\left[ {1 - \frac{{\ln (n)}}{n} - \frac{1}{n}} \right]\)
6. In représente l’aire comprise entre la courbe C, l’asymptote D et les droites verticales x=1 et x=n.
7. On obtient 2 comme limite de In lorsque .
