Correction deuxième épreuve de mathématique Concours ISSEA 2013

Correction exercice n° 1

On considère la fonction numérique f d’une variable réelle définie par :
$f(x) = ({x^2} + 1){e^x}$
1. Etudions les variations de f et sa convexité.
Sa dévirée est donnée par : $f'(x) = ({x^2}$ $+ 2x + 1){e^x}$
La fonction est donc strictement croissante à valeurs dans $\left[ {0; + \infty } \right[$ et elle admet une branche parabolique dans la direction Oy en ${ + \infty }$
2. Traçons le graphe de f.La fonction est strictement croissante. On a une tangente horizontale au point $\left( { - 1,\frac{2}{e}} \right)$ et l’axe Ox est une asymptote horizontale à $- \infty$
3. Calculons : $I = \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx}$
$I =$ $\int\limits_{ - 1}^0 {({x^2} + 1){e^x}dx}$ $=$ $\left[ {({x^2} + 1){e^x}} \right]_{ - 1}^0$ $- 2\int\limits_{ - 1}^0 {x{e^x}dx}$ $=$ $\left( {1 - \frac{2}{e}} \right) -$ $2\left[ {x{e^x}} \right]_{ - 1}^0$ $+ 2\int\limits_{ - 1}^0 {{e^x}dx}$
Soit : $I = 3 - \frac{6}{e}$
4. Valeur du paramètre $\alpha$ pour laquelle $\int\limits_0^\alpha {f(x)dx}$ $= 2e - 3$
Une primitive de f est $F(x) = ({x^2} - 2x$ $+ 3){e^x}$
Il faut donc : $F(\alpha ) - F(0)$ $= F(\alpha ) - 3$ $= 2e - 3$
5. Soit $g(x) =$ $({x^2} + 1){e^k}$ où k est un nombre réel strictement supérieur à 1.
Etudions ses variations.
Remarquons que la fonction f correspond à la fonction g pour k=1. Cette dérivée s’annule pour : $(1 + 2kx + {x^2})$ $= 0$
On obtient alors deux racines ${x_{1,2}} =$ $- k \pm \sqrt {{k^2} - 1}$
La fonction est décroissante entre ces deux racines et croissante à l’extérieur.
6. Etudions la convexité de g pour : $k = \frac{1}{2}$
On obtient : $g''(x) =$ ${({x^2} + 1)^{ - \frac{3}{2}}}$ ${e^x}({x^4} + 2{x^3} +$ $2{x^2} + 2x + 2)$. Le signe de cette expression est donc celui de : $z = ({x^4} + 2{x^3}$ $+ 2{x^2} + 2x$ $+ 2)$. Sa dérivée est $z' = (x + 1)$ $(2{x^2} + x + 2)$
Elle s’annule en -1, z est égal à 1 pour cette valeur et reste toujours positive, donc la fonction est convexe.