Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2013
Exercice n° 2
On considère la suite (un ) définie, pour n entier naturel, par : u0=1 et \({u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\)
1. Tracer le graphe de la fonction f définie pour \(x \ge 1\) par : \(f(x) = 1 + \frac{1}{x}\)
2. Étudier la convergence de la suite (un ) .
3. Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \int\limits_1^x {\frac{{f(t)}}{t}} dt\)
4. Soit \({I_\alpha }(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \int\limits_1^x {\frac{{f(t)}}{{{t^\alpha }}}} dt\)
Pour quelles valeurs de \(\alpha \) , \({I_\alpha }(x)\) admet une limite finie quand x tend vers \( + \infty \)?
