Attention !
L’exercice n° 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice n° 1 étant notée sur 1 point).
Globalement cet exercice n’entre toutefois que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve de mathématiques.
Dans toute la composition R désigne l’ensemble des nombres réels.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 1
1. Calculer, en \(x = 0\) , la dérivée de : \(\frac{{x{e^x}}}{{1 + {x^2}}}\)
2. Calculer \(I = \) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}\sin (x)dx} \)
3. Résoudre le système d’équations :
\(\left\{ \begin{array}{l}{e^{x + y}} = \sqrt {{e^3}} \\{x^2} + y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
4. Déterminer le nombre de solutions de l’équation :
\(2x + 1 + \) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{{t^2} + 2}}dt} \) \( = 0\)
5. Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{{x^x}}}{{1 + x}}\)
6. Dans un repère orthonormé de l’espace \({R^3}\) , déterminer un vecteur orthogonal au plan d’équation : \(3x - 5y\) \( + 2z - 4 = 0\)
7. Soit f la fonction numérique d’une variable réelle définie par : \(f(x) = (1 - k){x^2}\) \( + (1 + k){x^3}\) où k est un paramètre réel. Pour quelles valeurs de k , l’origine est-elle un extremum local ?
8. Calculer l’intégrale \(I = \) \(\int\limits_0^1 {\frac{{2{x^2} + 3x}}{{x + 2}}dx} \)
9. Dans une population de lycéens, 30 % font du sport hors du lycée. Parmi ces sportifs, 15 % font du volley, 20 % de la natation, et 5 % font à la fois du volley et de la natation. Quel est le pourcentage de lycéens faisant du volley, mais pas de natation ?
10. Calculer \(\sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right)} {( - 1)^k}\) , où n est un entier naturel non nul et \(\left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right)\) désigne le nombre de combinaisons de k éléments pris parmi n.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 2
On définit, sur R, la fonction \({G_k}\) par : \({G_k}(x) = \) \({e^{ - k.{x^2}}}\), où k est un nombre réel strictement positif.
1. Étudier les variations de ({G_k}\)
2. Résoudre l’équation : \({G_k}''(x) = 0\)
3. Tracer le graphe de ({G_k}\) pour \(k = \frac{1}{2}\) et k=1. Que peut-on en déduire ?
4. On suppose \(k = \frac{1}{2}\) Soit a la solution positive de l’équation \({G_k}''(x) = 0\). Déterminer l’équation de la tangente au graphe de \({G_k}\) au point d’abscisse a.
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Exercice n° 3
Soit \(f:\left[ {a,b} \right]\) \( \to R\) , une application continue telle que : \(\int\limits_a^b {f(t)g(t)dt = 0} \) pour toutes fonctions en escalier g, définies sur \(\left[ {a,b} \right]\) . Expliciter f.
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Exercice n° 4
Soit la suite \(({F_n})\) définie par :
\({F_{n + 1}} = {F_n} + {F_{n - 1}}\) avec \({F_1} = - 3\) et \({F_2} = 2\)
1. Exprimer \({({F_n})^2} - \) \({F_{n + 1}} \times {F_{n - 1}}\) en fonction de n. (On pourra calculer cette expression pour n = 2 et n = 3)
2. La suite \(({F_n})\) est-elle convergente ?
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Exercice n° 5
On considère la fonction numérique f à valeurs réelles définie par:
\(f(x) = \) \({x^2} \times \ln ({x^2} + 1)\)
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d'un repère orthogonal et ln désigne le logarithme népérien.
1. Étudier les variations de la fonction f et tracer C.
2. Calcule \(I = \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
3. On considère la fonction numérique f n à valeurs réelles définie par:
\({f_n}(x) = {x^n}\) \( \times \ln ({x^2} + 1)\)
où n est un entier strictement supérieur à 2.
Étudier les variations de la fonction f n et tracer son graphe.
4. Calculer \\({J_n} = \) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^n}}}{{1 + {x^2}}}} \) en fonction de n (entier naturel). On calculera d’abord J 0 , J1 et J 2 .
5. Calculer \({I_n} = \) \(\int\limits_0^1 {{f_n}(x)dx} \) en fonction de n.
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Exercice n° 6
1. Écrire le développement limité de \(\frac{1}{{1 + x}}\) au voisinage de l’origine, à l’ordre 3.
2. En déduire le développement limité de \(\frac{1}{{1 + {e^x}}}\) au voisinage de l’origine, à l’ordre 3.
3. Soit \(f(x) = \)\(\frac{1}{{1 + {e^{1/x}}}}\)
Déterminer l’équation de l’asymptote au graphe de f pour \(x \to + \infty \)
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Exercice n° 7
Soit F l’application numérique définie par :
\(F(x) = \) \(\int\limits_x^{2x} {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^4} + {t^2} + 1} }}} \)
1. Montrer que F est définie, continue et dérivable sur R.
2. Étudier la parité de F.
3. Montrer que pour tout \(x \succ 0:0\) \( \prec F(x) \prec \frac{1}{{2x}}\) En déduire la limite de F en \( + \infty \)
4. Calculer la dérivée de F et résoudre l’équation \(F'(x) = 0\) pour \(x \succ 0\)
