Attention !
L’exercice n° 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice n° 1 étant notée sur 1 point).
Globalement cet exercice n’entre toutefois que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve de mathématiques.
Dans toute la composition R désigne l’ensemble des nombres réels.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 1
1. Calculer, en x=0 , la dérivée de : xex1+x2
2. Calculer I= 1∫−1x2sin(x)dx
3. Résoudre le système d’équations :
{ex+y=√e3x2+y=32
4. Déterminer le nombre de solutions de l’équation :
2x+1+ 1∫0t2ett2+2dt =0
5. Calculer limx→0+xx1+x
6. Dans un repère orthonormé de l’espace R3 , déterminer un vecteur orthogonal au plan d’équation : 3x−5y +2z−4=0
7. Soit f la fonction numérique d’une variable réelle définie par : f(x)=(1−k)x2 +(1+k)x3 où k est un paramètre réel. Pour quelles valeurs de k , l’origine est-elle un extremum local ?
8. Calculer l’intégrale I= 1∫02x2+3xx+2dx
9. Dans une population de lycéens, 30 % font du sport hors du lycée. Parmi ces sportifs, 15 % font du volley, 20 % de la natation, et 5 % font à la fois du volley et de la natation. Quel est le pourcentage de lycéens faisant du volley, mais pas de natation ?
10. Calculer n∑k=0(nk)(−1)k , où n est un entier naturel non nul et (nk) désigne le nombre de combinaisons de k éléments pris parmi n.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 2
On définit, sur R, la fonction Gk par : Gk(x)= e−k.x2, où k est un nombre réel strictement positif.
1. Étudier les variations de ({G_k}\)
2. Résoudre l’équation : Gk″(x)=0
3. Tracer le graphe de ({G_k}\) pour k=12 et k=1. Que peut-on en déduire ?
4. On suppose k=12 Soit a la solution positive de l’équation Gk″(x)=0. Déterminer l’équation de la tangente au graphe de Gk au point d’abscisse a.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 3
Soit f:[a,b] →R , une application continue telle que : b∫af(t)g(t)dt=0 pour toutes fonctions en escalier g, définies sur [a,b] . Expliciter f.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 4
Soit la suite (Fn) définie par :
Fn+1=Fn+Fn−1 avec F1=−3 et F2=2
1. Exprimer (Fn)2− Fn+1×Fn−1 en fonction de n. (On pourra calculer cette expression pour n = 2 et n = 3)
2. La suite (Fn) est-elle convergente ?
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 5
On considère la fonction numérique f à valeurs réelles définie par:
f(x)= x2×ln(x2+1)
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d'un repère orthogonal et ln désigne le logarithme népérien.
1. Étudier les variations de la fonction f et tracer C.
2. Calcule I=1∫0f(x)dx
3. On considère la fonction numérique f n à valeurs réelles définie par:
fn(x)=xn ×ln(x2+1)
où n est un entier strictement supérieur à 2.
Étudier les variations de la fonction f n et tracer son graphe.
4. Calculer \Jn= 1∫0xn1+x2 en fonction de n (entier naturel). On calculera d’abord J 0 , J1 et J 2 .
5. Calculer In= 1∫0fn(x)dx en fonction de n.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 6
1. Écrire le développement limité de 11+x au voisinage de l’origine, à l’ordre 3.
2. En déduire le développement limité de 11+ex au voisinage de l’origine, à l’ordre 3.
3. Soit f(x)=11+e1/x
Déterminer l’équation de l’asymptote au graphe de f pour x→+∞
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014
Exercice n° 7
Soit F l’application numérique définie par :
F(x)= 2x∫xdt√t4+t2+1
1. Montrer que F est définie, continue et dérivable sur R.
2. Étudier la parité de F.
3. Montrer que pour tout x≻0:0 ≺F(x)≺12x En déduire la limite de F en +∞
4. Calculer la dérivée de F et résoudre l’équation F′(x)=0 pour x≻0
