Correction exercice n° 1
Soit f la fonction numérique définie par : f(x)=f(x)= ln(x+1)xln(x+1)x , où ln désigne le logarithme népérien.
1. Etudions les variations de f et donnons l’allure de son graphe.
La fonction f est définie pour x≻−1x≻−1 et x≠0x≠0. Mais limx→0f(x)=0limx→0f(x)=0, on peut donc prolonger par continuité la fonction en posant : f(0)=1f(0)=1.
Sa dérivée est égale à
f′(x)=f′(x)= x−(x+1)ln(x+1)x2(x+1)x−(x+1)ln(x+1)x2(x+1)
Cette dérivée est négative sur l’ensemble de définition et la fonction est donc strictement décroissante de ]−1,+∞[]−1,+∞[ sur ]+∞,0[]+∞,0[. Le graphe de f admet deux asymptotes : x=-1 (verticale) et y=0 (horizontale). La fonction est convexe sur son ensemble de définition.
2. Montrons que f admet un unique point fixe sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs.
La recherche d’un point fixe revient à résoudre l’équation : f(x)=xf(x)=x. Ce qui revient à résoudre :
ln(x+1)ln(x+1) −x2=0−x2=0 . On étudie donc cette fonction z=ln(x+1)z=ln(x+1) −x2=0−x2=0 et son tableau de variation montre l’existence d’un point unique avec le théorème des valeurs intermédiaires.
3. Calculons e∫1xx+1f(x)dxe∫1xx+1f(x)dx
Soit I=I= e∫1xx+1f(x)dxe∫1xx+1f(x)dx =e∫1ln(x+1)x+1dx=e∫1ln(x+1)x+1dx =12[ln2(x+1)]e1=12[ln2(x+1)]e1 =12(ln2(e+1) −ln2(2))
Correction exercice n° 2
Soit f la fonction numérique définie par :
f(x)=x2x+1
1. Etudions les variations de f et tracer son graphe.
Sa dérivée est égale à : f′(x)= x(x+2)(x+1)2 et cette dérivée s‘annule en 0 et -2. La courbe admet une asymptote verticale d’équation x=−1 et une asymptote oblique d’équation y=x−1
La fonction est strictement croissante de ]−∞,−2] sur ]−∞,−4],
La fonction est strictement décroissante de [−2−1[ sur [−4,−∞[,
La fonction est strictement décroissante de ]−1,0] sur ]+∞,0],
La fonction est strictement croissante de [0,+∞[ sur [0,+∞[,
La courbe se présente sous la forme d’une hyperbole oblique.
3. Calculons 1∫0f(x)dx
I= 1∫0f(x)dx= ∫10(x−1+1x+1)dx= [x22−x+ln(x+1)]10 =−12+ln2
3. Montrons que f admet un centre de symétrie que l’on précisera.
Le point A de coordonnées (-1, -2) est un centre de symétrie, en effet si on pose : X=x+1 et Y=y+2 , on obtient : Y=X+1X qui est une fonction impaire.
4. On considère la suite (un) définie par : u0≠−1 et un+1=f(un). Etudions la convergence de cette suite selon les valeurs de u0 .
Si la suite (un) est convergente, sa limite l vérifie : l=f(l), à savoir l=0.
Pour u0=0 , on vérifie par récurrence que un≻0 de plus un+1un= un1+un≺1. La suite est donc décroissante et minorée, elle converge vers zéro.
Pour u0=0, la suite est stationnaire égale à zéro.
Pour −1≺u0≺0, on a : u1= u201+u0≻0, et on se ramène au premier cas où la suite converge vers zéro.
Enfin pour u0≺1, on vérifie que : un+1≺un ≺−1. Si la suite était convergente, sa limite serait inférieure à -1, donc elle est divergente.
