Exercice I /4 points
1.a) Résoudre dans R l’équation : ${x^2} - x$ $- 2 = 0$ 0,75 pt
b) Developer $\left( {x - 1} \right)$ $\left( {{x^2} - x - 2} \right)$ 0,5 pt
c) En déduire l’ensemble solution dans R de l’inéquation
${x^3} - 2{x^2} -$ $x + 2 \le 0$ 1 pt
2.a) Résoudre dans R₂ le système (S) 0,75 pt
$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 2\\ - x + 4y = 6\end{array} \right.$
b) En déduire l’ensemble solution du système 1pt
$\left\{ \begin{array}{l}2{e^x} - {e^y} = 2\\ - {e^x} + 4{e^y} = 6\end{array} \right.$

Exercice II 6 points
Le taux d’absentéisme de 800 employés d’une entreprise au cours des deux dernières années a permis de réaliser le tableau suivant :

1. Recopier et compléter ce tableau 1 pt
2. Tracer l’histogramme des effectifs. (Unité sur les axes abscisses 1 cm pour trois mois ; ordonnées : 1 cm pour 100 personnes) 2 pts
3. Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants sur le graphique précèdent 1 pt
4. Tracer le polygone des effectifs cumulés décroissants sur le graphique précèdent 1 pt
5. Déterminer graphiquement la médiane de cette série 1 pt

Problème 10 points
La figure ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction numérique f définie de R/(-1) vers R.
I) Par lecture graphique
1. Déterminer f(0), f(1) et f(-2) 0,75 pt
2. Conjecturer : $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)$ et $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)$ 1 pt
3. Écrire une équation de l’asymptote verticale 0,5 pt
4. Dresser le tableau de variation de f 1 pt
5. Reproduire la courbe (C_f) et construire dans le même repère orthonormé $R = \left( {O;\vec i,\vec j} \right)$ la représentation graphique de la fonction $g:x \mapsto$ $\left| {f(x)} \right|$ 1,5 pt
Unités 1 cm
II) On suppose que $f(x) = ax + b$ $+ \frac{c}{{c + 1}}$ avec $\left( {a,b,c} \right)$ $\in {R^3}$ et x différent de -1
1. Exprimer f(1), f(-2) et f(0) en fonction de a, b et c 1,5 pt
2. En déduirez que le triplet (a, b, c ) est solution du système :
$\left\{ \begin{array}{l}2a + 2b + c = 4\\ - 2a + b - c = - 7\\b + c = 3\end{array} \right.$
3. Parmi les triplets suivants, recopier sur votre feuille la solution du système ci-dessus : 1 pt
i) (1,1,4)
ii) (-1,1,4)
iii) (1,-1,4)
iv) (-1,-1,4)
4. En déduire que $f(x) =$ $\frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}$ pour ${x \ne - 1}$ 1 pt
5. Montrer que la fonction F : $x \mapsto \frac{1}{2}{x^2} -$ $x + 4\ln \left( {x + 1} \right)$est la primitive de la fonction f sur $\left] { - 1, + \infty } \right[$ qui s’annule en 0 1 pt