Soient Z et Z’ deux nombres complexes tels que : $Z = a + ib$ et $Z' = a' + ib'$

1) Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexe Z et Z’ sont égaux si et seulement si
$Z = Z' \Leftrightarrow$ $a + ib =$ $a' + ib' \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (Z) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (Z')\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} (Z) = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (Z')\end{array} \right.$
Soit $\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$

2) Somme de deux nombres complexes

La somme des deux complexes Z et Z’ est le complexe Z’’ tel que :
$Z'' = Z + Z'$ $= a + ib +$ $a' + ib' =$ $(a + a') +$ $i(b + b')$

3) Produit de deux nombres complexes

Le Produit des deux complexes Z et Z’ est un nombre complexe Z’’ tel que :
$Z'' = Z \times Z'$ $= \left( {a + ib} \right) \times$ $\left( {a' + ib'} \right) =$ $(aa' - bb') +$ $i(ab' + a'b)$ avec ${i^2} = - 1$

4) Le conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué d’un nombre complexe $Z = a + ib$ un nombre complexe noté $\overline Z$ tel que $\overline Z = a - ib$

NB : les images des deux nombres complexes $Z$ et ${\overline Z }$ sont symétriques par rapport à l’axe des réels.

5) Quotient de deux nombres complexes

Le quotient de deux nombres complexes Z et Z’ est un nombre complexe Z’’ tel que :
$Z'' =$ $\frac{Z}{{Z'}} =$ $\frac{{Z\overline {Z'} }}{{Z\overline {Z'} }} =$ $\frac{{\left( {a + ib} \right)\left( {a' - ib'} \right)}}{{\left( {a' + ib'} \right)\left( {a' - ib'} \right)}}$ $=$ $\frac{{aa' + bb'}}{{{{\left( {a'} \right)}^2} + {{\left( {b'} \right)}^2}}} +$ $i\frac{{ab' - ab'}}{{{{\left( {a'} \right)}^2} + {{\left( {b'} \right)}^2}}}$

N.B : Le nombre $\frac{1}{Z}$ est appelé inverse du complexe $Z$ tel que :
$\frac{1}{Z} =$ $\frac{{\overline Z }}{{Z\overline Z }} =$ $\frac{{\left( {a - ib} \right)}}{{\left( {a + ib} \right)\left( {a - ib} \right)}}$ $= \frac{{a - ib}}{{{a^2} + {b^2}}}$

6) Quelques propriétés sur les nombres complexes

Soient deux nombres complexes Z et Z’

P.1 $Z = \overline Z \Rightarrow Z$ est un reel

P.2 $Z = - \overline Z \Rightarrow Z$ Eest un imaginaire pur

P.3 $\overline {Z + Z'} =$ $\overline Z + \overline {Z'}$

P.4 $\overline {Z \times Z'} =$ $\overline Z \times \overline {Z'}$

P.5 $\overline {\left( {\frac{Z}{{Z'}}} \right)} = \frac{{\overline Z }}{{\overline {Z'} }}$

P.6 $\overline {\left( {\frac{a}{{Z'}}} \right)} = \frac{a}{{\overline {Z'} }}$ avec ${Z' \ne 0}$

P.7 $\overline {{Z^n}} = {\left( {\overline Z } \right)^n}$

P.8. ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (Z) =$ $\frac{{Z + \overline Z }}{2}$

P.9 ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (Z) =$ $\frac{{Z - \overline Z }}{2}$

P.10 $Z \times \overline Z$ est un réel positif