Correction exercice I
Écrivons les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
a) $Z = \left( {2 - 5i} \right)$ $\left( {3 + i} \right) = 11$ $- 13i$
b) $Z = \frac{1}{{4 + 3i}}$ $= \frac{{4 - 3i}}{{{4^2} + {3^2}}}$ $= \frac{4}{{25}} -$ $i\frac{3}{{25}}$
c) $Z = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{4 - i\sqrt 2 }}$ $=$ $\frac{{\left( {1 - \sqrt 6 } \right) - i\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}}{3}$
d) $Z =$ $\frac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{1 - i}}$ $= - 2 + 3i$

Correction exercice II
Donnons les conjugués des nombres complexes suivants :
a) $Z = 1 - i \Rightarrow$ $\overline Z = 1 + i$
b) $Z = i + \sqrt 3$ $\Rightarrow \overline Z = i$ $- \sqrt 3$
c) $Z = i = 0$ $+ i \Rightarrow \overline Z =$ $- i$
d) $Z = 3 =$ $3 + i0 \Rightarrow$ $\overline Z = 3$

Correction exercice III
Déterminons les réels x et y pour que les égalités suivantes soient vraies.
a) $\left( {2x + 1} \right) +$ $i\left( {3y - 2} \right)$ $= 15 + 4i$
Par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons :
$\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 15\\3y - 2 = 4\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 2\end{array} \right.$

b) $\left( {x + y} \right) -$ $i\left( {2x - y} \right)$ $= 3 + 6i$
Par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons le système suivant :
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 2x + y = 6\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 4\end{array} \right.$

c) $xi - y -$ $x + 3i = 0$
Par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons :
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = - 3\end{array} \right.$

Correction exercice IV
Calculons les racines carrées des nombres complexes
a) $Z = 8 - 6i$
Soit $z = x + iy$ la racine de nombre Z, ainsi :
${z^2} =$ ${\left( {x + iy} \right)^2}$ $= 8 - 6i$
Après développement et par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons :
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\xy = - 3\end{array} \right.$
En appliquant la substitution et en résolvant le système, nous obtenons $x = \pm 3$ et $y = \pm 1$
Le nombre $Z = 8 - 6i$ a donc deux racines ${z_1} = 3 - i$ et ${z_2} = - 3 + i$

b) $Z = 1 + i4\sqrt 5$
Solution : ${z_1} = \sqrt 5 + 2i$, et ${z_2} = - \sqrt 5 + 2i$

Correction exercice V
Résolvons dans C les équations suivantes :
a) $\left( {3 - i} \right)Z +$ $1 + 5i = 0$
$Z =$ $- \frac{{1 + 5i}}{{3 - i}}$ $= -$ $\frac{{\left( {1 + 5i} \right)\left( {3 + i} \right)}}{{\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)}}$ $= \frac{{2 - 16i}}{{10}}$ $= \frac{{1 - 8i}}{5}$
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est : $\left\{ {\frac{1}{5} - i\frac{8}{5}} \right\}$

b) $\left( {\left( {4 - 3i} \right)Z - 5} \right)$ $\left( {\left( {1 + i} \right)Z + 1 - i} \right)$ $= 0$
Cette expression est nulle si et seulement si $\left( {\left( {4 - 3i} \right)Z - 5} \right)$ $= 0$ et $\left( {\left( {1 + i} \right)Z + 1 - i} \right)$ $= 0$ ainsi :
$Z = \frac{5}{{4 - 3i}}$ $= \frac{4}{5} + i\frac{3}{5}$
Et $\left( {\left( {1 + i} \right)Z + 1 - i} \right)$ $= 0$ soit $Z = \frac{{ - 1 + i}}{{1 + i}}$ $= \frac{{2i}}{2} = i$
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est : $\left\{ {i;\frac{4}{5} + i\frac{3}{5}} \right\}$

Correction exercice VI
1) On note $Df$ le domaine de définition de la fonction f.
Soit z un nombre complexe. $f(z)$ existe si et seulement si ${\left( {3 + i} \right)z}$ ${ - 1 \ne 0}$. Soit $\left( {3 + i} \right)z - 1$ $\ne 0 \Rightarrow z$ $\ne \frac{1}{{\left( {3 + i} \right)}} =$ $\frac{3}{{10}} - i\frac{1}{{10}}$
$Df =$ $\mathbb{C}$ $\backslash \left\{ {\frac{3}{{10}} - i\frac{1}{{10}}} \right\}$

2. 2) Soit z un nombre complexe. $f(z) = 0$, alors $\left( {1 + 2i} \right)z$ $- 1 = 0 \Rightarrow z$ $= \frac{1}{{1 + 2i}}$ $= \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est : $\left\{ {\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i} \right\}$

Correction exercice VI
1) Écrirons A sou forme algébrique
Posons $Z = x + iy$ et $\overline Z = x - iy$
$A =$ $\frac{{2 + x - iy}}{{1 - x - iy}}$ $=$ $\frac{{ - {x^2} - {y^2} - x + 2}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}$ $+ i$ $\frac{{ - 3y}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}$
2) Déterminons l'ensemble des points M du plan tel que :
a) A soit un réel
A est un réel si sa partie imaginaire est nulle c'est-à-dire ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (A) = 0$
Soit $\frac{{ - 3y}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}$ $= 0$ $\Rightarrow - 3y = 0$
Alors l’ensemble des points M cherchés est la droite d’équation y = 0 ou encore l’axe des abscisses.
b) A soit un imaginaire pur.
A est un imaginaire pur si sa partie réelle est nulle c'est-à-dire ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (A) = 0$
$\frac{{ - {x^2} - {y^2} - x + 2}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}$ $= 0 \Rightarrow$ $- {x^2} - {y^2}$ $- x + 2 = 0$

NB : ${x^2} + {y^2}$ $+ ax + by$ $+ c = 0 \Leftrightarrow$ ${\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} +$ ${\left( {y + \frac{b}{2}} \right)^2}$ $=$ $\frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}$

De ce qui précède, $- {x^2} - {y^2}$ $- x + 2$ $= 0 \Leftrightarrow$ ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}$ $+ {\left( {y + 0} \right)^2}$ $= \frac{9}{4}$
Alors l’ensemble des points M cherchés est le cercle de centre $\left( { - \frac{1}{2};0} \right)$ et de rayon $r = \frac{3}{2}$