Partie A : Évaluation des ressources

A. Évaluation des savoirs

Correction exercice I

1. Énonçons la propriété de Thalès.
« Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors les segments formés sur ces droites sécantes sont proportionnels. »
2. • Conditions d’application de la Propriété de Thalès
a) Avoir deux droites parallèles.
b) Ces droites coupent deux droites sécantes.
c) Les longueurs doivent être mesurées sur une même direction.
3. Énonçons de la réciproque de la propriété de Thales.
"Soit ABC est un triangle, M est un point de (AB), M’ un point de (AC) tels que la position de M par rapport à A et B soit la même que celle de M’ par rapport à A et C."
Si \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AM'}}{{AC}}\) alors \(\left( {MM'} \right)\parallel \left( {BC} \right)\).
4. On dit que deux triangles sont des triangles semblables lorsque
• Si deux triangles sont semblables, alors leurs cotés sont deux à deux proportionnelles.
• Si deux triangles sont semblables, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.

Correction exercice II

• Si deux triangles sont semblables, alors leurs cotés sont deux à deux proportionnelles.
• Si deux triangles sont semblables, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.
• Si deux triangles ont leurs cotés deux à deux proportionnels, alors ils sont semblables.
• Si deux triangles ont leurs angles deux à deux de même mesure, alors ils sont semblables.

Correction exercice III

Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est vraie, Écris le numéro de la ligne suivi de la lettre de l’affirmation vraie.
• Ligne 1 B
• Ligne 2 A
• Ligne 3. C

Correction exercice IV

La réponse exacte est la réponse b.

B. Application des savoirs et des savoirs faire

Correction Exercice I

1 er cas : D’après la propriété de Thalès, \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{x}{{AD}}\) soit \(x = AD \times \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{4 \times 9}}{6} = 6\) cm.
2ème cas : D’après la propriété de Thalès, \(\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{OB}}{{OC}} \Leftrightarrow \frac{{OA}}{x}\) \( = \frac{{OB}}{{OC}} \Rightarrow x = \) \(OC \times \frac{{OA}}{{OB}} = 10\) cm.
3ème cas : D’après la propriété de Thalès, \(\frac{{KF}}{{KA}} = \frac{{KE}}{{KB}} \Leftrightarrow \frac{{KF}}{{KA}}\) \( = \frac{{KE}}{x} \Rightarrow x = \) \(KA \times \frac{{KE}}{{KF}} = 14\) cm.

Correction exercice II

Justifions que : \(\left( {MN} \right)\parallel \left( {CB} \right)\)
Calculons tout d’abord
\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{3}{5}\)
\(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}\)
Donc, \(\left( {MN} \right)\parallel \left( {CB} \right)\)
ABC est un triangle, M est un point du segment [AB], N est un point du segment [AC] et \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\).
D’après la réciproque de la propriété de Thales \(\left( {MN} \right)\parallel \left( {CB} \right)\)

Correction exercice III

Calculons \(AB\).
\(ABK\) est un triangle, F est un point de la droite \((AK)\) et E est un point de la droite \((BK)\) ; et \(\left( {AB} \right)\parallel \left( {EF} \right)\) alors , d’après la conséquence de la propriété de Thalès on a : \(\frac{{KF}}{{KA}} = \frac{{KE}}{{KB}} = \frac{{EF}}{{AB}}\).
D’où : \(\frac{{KF}}{{KA}} = \frac{{EF}}{{AB}}\).
Ainsi : \(AB \times KF = \) \(KA \times EF \Rightarrow AB = \) \(\frac{{KA \times EF}}{{KF}}\).
\(AB = \frac{{8 \times 6}}{3} = 16\) cm.

Partie B : Évaluation des compétences

Correction exercice I

1) Sur la figure, \(\left( {OW} \right) \bot \left( {YW} \right)\) et \(\left( {EA} \right) \bot \left( {YW} \right)\). Donc \(\left( {OW} \right)\parallel \left( {EA} \right)\)
2) Calculons la hauteur \(EA\) de l’anacardier.
Considérons le triangle \(YOW\)
\(E \in \left( {YO} \right)\); \(E \in \left( {YW} \right)\) et \(\left( {OW} \right)\parallel \left( {EA} \right)\).
D’après la conséquence de la propriété de Thalès, on a : \(\frac{{YA}}{{YW}} = \frac{{YE}}{{YO}} = \frac{{AE}}{{WO}}\).
Par conséquent, \(\frac{{YA}}{{YW}} = \frac{{AE}}{{WO}} \Rightarrow AE\) \( = \frac{{YA \times WO}}{{YW}} \).
\(\left\{ \begin{array}{l}YA = 20\\YW = YA + AW\end{array} \right. \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}YA = 20\\YW = 20 + 30 = 50\end{array} \right.\)
\(WO = 6,7 - 1,6 = 5,1\) cm.
\(E = \frac{{YA \times WO}}{{YW}} = 2,04\) cm.