Correction exercice

Décomposons en éléments simples les fractions suivantes :
a) \(I = \) \(\frac{{{x^2} + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}\left( {x - 2} \right)}}\)
\(\frac{{{x^2} + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}\left( {x - 2} \right)}}\) \( = \frac{A}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) \( + \frac{{{A_1}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( + \frac{{{A_2}}}{{\left( {x + 1} \right)}}\) \( + \frac{B}{{\left( {x - 2} \right)}}\)
Mettons les fractions au même dénominateur et égalons les numérateurs.
Nous trouvons : \({x^2} + 2 = \) \(({A_2} + B){x^3} + \) \(({A_1} + 2B){x^2}\) \( + (A - {A_1} - \) \(3{A_2})x + ( - 2A\) \( - 2{A_1} - 2{A_2}\) \( + B)\)
En égalant les coefficients de \({x^3}\), \({x^2}\), \({x^1}\) et \({x^0}\), nous trouvons un système d'équations pour déterminer les coefficients
1. \({A_2} + B = 0\)
2. \({A_1} + 2B = 1\)
3. \(A - {A_1} - \) \(3{A_2} = 0\)
4. \( - 2A - 2{A_1}\) \( - 2{A_2} + B = 2\)
La résolution de ce système donne : \(A = - 1\), \({A_1} = \frac{1}{3}\), \({A_2} = - \frac{2}{9}\) et \(B = \frac{2}{9}\), ainsi :
\(\frac{{{x^2} + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}\left( {x - 2} \right)}}\) \( = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) \( + \frac{1}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( - \frac{2}{{9\left( {x + 1} \right)}}\) \( + \frac{2}{{9\left( {x - 2} \right)}}\)

b) \(I = \frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}}\)
Cette fraction est irrégulière, nous la mettons sous la forme d'une somme d'un polynôme \(M(x)\) et d'une fraction rationnelle régulière \(\frac{{F(x)}}{{f(x)}}\).
En effet, on peut faire division euclidienne de \({{x^4}}\) par \({{x^2} - 1}\) :
\(\frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}} = \) \(M(x) + \frac{{F(x)}}{{f(x)}}\) \( = {x^2} + 1\) \( + \frac{1}{{{x^2} - 1}}\)
il reste à décomposer \(\frac{1}{{{x^2} - 1}}\)
\({x^2} - 1\) \( = \left( {x - 1} \right)\) \(\left( {x + 1} \right)\)
\(\frac{1}{{{x^2} - 1}} = \) \(\frac{A}{{(x - 1)}} + \) \(\frac{B}{{(x + 1)}}\)
En réduisant l’expression au même dénominateur, nous trouvons \(A = \frac{1}{2}\) et \(B = - \frac{1}{2}\)

\(\frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}} = \) \({x^2} + 1 + \) \(\frac{1}{{2(x - 1)}} - \) \(\frac{1}{{2(x + 1)}}\)

c) \(I = \) \(\frac{{{x^2} + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}\left( {x - 2} \right)}}\)
\(I = \frac{{{a_0}}}{{\left( {x + 1} \right)}}\) \( + \frac{{{a_1}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( + \frac{{{a_2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) \( + \frac{{{a_3}}}{{x - 2}}\)
En réduisant au même dénominateur et en égalant les coefficients de même puissance de \(x\), on obtient : \(\left\{ \begin{array}{l}{a_0} = - \frac{2}{9}\\{a_1} = \frac{1}{3}\\{a_2} = - 1\\{a_3} = \frac{2}{9}\end{array} \right.\)

\(I = - \frac{2}{{9\left( {x + 1} \right)}}\) \( + \frac{1}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) \( + \frac{2}{{9\left( {x - 2} \right)}}\)

d) \(I = \) \(\frac{{{x^2} - 6}}{{{x^4} - 6{x^2} + 8}}\)
En factorisant l’expression du dénominateur, on trouve :
\({x^4} - 6{x^2} + 8\) \( = \left( {x + \sqrt 2 } \right)\) \(\left( {x - \sqrt 2 } \right)\) \(\left( {x + 2} \right)\) \(\left( {x - 2} \right)\)
De la même façon que précédemment, on trouve :
\(I = - \) \(\frac{1}{{\sqrt 2 \left( {x + \sqrt 2 } \right)}} + \) \(\frac{1}{{\sqrt 2 \left( {x - \sqrt 2 } \right)}} + \) \(\frac{1}{{4\left( {x + 2} \right)}} - \) \(\frac{2}{{4\left( {x - 2} \right)}}\)

e) \(I = \frac{{{x^5}}}{{{x^3} - 1}}\)
\(I = {x^2} + \) \(\frac{1}{{3\left( {x - 1} \right)}} + \) \(\frac{{2x + 1}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

f) \(I = \) \(\frac{{2{x^2} - 3x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}}\)
\(I = - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}\) \( + \frac{{3x - 2}}{{{x^2} - 2x + 5}}\)