Il n'est pas toujours possible d'exprimer l'intégrale d'une fonction irrationnelle quelconque à l'aide de fonctions élémentaires. Les fonctions irrationnelles dont les intégrales peuvent être ramenées par des changements de variable appropriés à celles des fonctions rationnelles que nous savons intégrer seront étudiées dans la suite de ce cours.
I Intégration des fonctions de types \(I = \) \(\int {f(x,{x^{\frac{m}{n}}},...,{x^{\frac{r}{s}}})dx} \)
Ici, \(f\) fonction rationnelle et \(x\), ses arguments
Soit \(k\) le dénominateur commun des fractions \({\frac{m}{n}}\) et \({\frac{r}{s}}\) . Effectuons le changement de variable
\(x = {t^k} \Rightarrow \) \(dx = k{t^{k - 1}}dt\)
Chaque puissance fractionnaire de x peut alors être exprimée par une puissance entière de t, et, par conséquent, la fonction à intégrer se transforme en une fonction rationnelle de t.
Exemple : Calculer la primitive de \(I = \) \(\int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{3}{4}}} + 1}}} dx\)
Le dénominateur commun des fractions \({\frac{1}{2}}\) et \({\frac{3}{4}}\) est 4 donc posons
\(x = {t^4} \Rightarrow \) \(dx = 4{t^3}dt\)
Nous obtenons donc
\(I = 4\) \(\int {\frac{{{t^5}}}{{{t^3} + 1}}} dt\) \( = 4\) \(\int {\left( {{t^2} - \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}} \right)dx} \) \( = \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{4}}} - \) \(\frac{4}{3}Log\left| {{x^{\frac{3}{4}}} + 1} \right|\) \( + cte\)
II Intégrales du type \(\int {f(x,} \) \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} )\) \(dx\)
Considérons l'intégrale \(\int {f(x,} \) \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} )\) \(dx\)où \(a \ne 0\).
Cette intégrale peut être ramenée à celle d'une fonction rationnelle par les substitutions de variables d'Euler.
II.1 1. Première substitution d'Euler.
Si \(a \succ 0\), on pose \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) \( = \pm \sqrt a x + t\)
Prenons, le signe plus devant \(a\), alors : \(a{x^2} + bx + \) \(c = a{x^2} + \) \(2tx\sqrt a + {t^2}\)
\(x = \) \(\frac{{{t^2} - c}}{{c - 2\sqrt a t}}\)
Ainsi \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) \( = \sqrt a \) \(\frac{{{t^2} - c}}{{c - 2\sqrt a t}} + t\)
c'est-à-dire que \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) est ramenée à une fonction rationnelle de t. \(dx\) s'expriment par des fonctions rationnelles de t, l'intégrale est donc ramenée à celle d'une fonction rationnelle de t.
Exemple : Calculer la primitive de \(I = \) \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + c} }}} \)
On pose \(\sqrt {{x^2} + c} = \) \( - x + t \Rightarrow x\) \( = \frac{{{t^2} + c}}{{2t}}\) et \(dx = \) \(\frac{{{t^2} + c}}{{2{t^2}}}dt\)
\(I = \) \(\int {\frac{{\frac{{{t^2} + c}}{{2{t^2}}}}}{{\frac{{{t^2} + c}}{{2t}}}}} dx\) \( = \int {\frac{{dt}}{t}} \) \( = \) \(Log\left| {x + \sqrt {{x^2} + c} } \right|\) \( + cte\)
II.2. Deuxième substitution d'Euler.
Si \(c \succ 0\), posons \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) \( = xt \pm \sqrt c \)
\(x = \) \(\frac{{2\sqrt c t - b}}{{a - {t^2}}}\)
Exemple Calculer la primitive de \(I = \) \(\int {\frac{{\left( {1 - \sqrt {1 + x + {x^2}} } \right)}}{{{x^2}\sqrt {1 + x + {x^2}} }}} \) \(dx\)
\(\sqrt {1 + x + {x^2}} \) \( = xt + 1 \Rightarrow \) \(x = \frac{{2t - 1}}{{1 - {t^2}}}\) soit \(dx = \) \(\frac{{2{t^2} - 2t + 2}}{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}}dt\)
\(I = \) \(\int {\frac{{{t^2}}}{{1 - {t^2}}}} dx\)
II.3 3. Troisième substitution d'Euler.
Soient \(\alpha \) et \(\beta \) les racines réelles du trinôme \(a{x^2} + bx + c\), posons
\(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) \( = \) \(\sqrt {a(x - \alpha )(x - \beta )} \) \( = (x - \alpha )t\) soit \(x = \) \(\frac{{a\beta - \alpha {t^2}}}{{a - {t^2}}}\)
Remarque : Le changement de variable indiqué dans la troisième substitution peut être appliqué non seulement quand \(a \prec 0\), mais aussi quand \(a \succ 0\) si seulement le trinôme \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) a deux racines réelles.
