Prérequis
• Intégration fonctions rationnelles élémentaires
• Décomposition fonction rationnelles

Soit à calculer l'intégrale de la fraction rationnelle \(\frac{{Q(x)}}{{f(x)}}\) c'est-à-dire l'intégrale \(\int {\frac{{Q(x)}}{{f(x)}}} dx\)
Si la fraction donnée est irrégulière, nous la mettons sous la forme d'une somme d'un polynôme \({M(x)}\) et d'une fraction rationnelle régulière \({\frac{{F(x)}}{{f(x)}}}\)
Nous mettons ensuite la fraction \({\frac{{F(x)}}{{f(x)}}}\) sous la forme d'une somme d'éléments simples . Ainsi, l'intégration d'une fraction rationnelle arbitraire se ramène à l'intégration d'un polynôme et de plusieurs éléments simples.
Nous avons vu que ces éléments simples étaient définis par les racines du dénominateur \({f(x)}\). Plusieurs cas sont possibles :

I^er cas. Les racines du dénominateur sont réelles et différentes

Soit \(f(x) = (x - a)\) \((x - b)...\) \((x - d)\)
Dans ce cas, la fraction \(\frac{{F(x)}}{{f(x)}} = \) \(\frac{A}{{(x - a)}} + \) \(\frac{B}{{(x - b)}} + ...\) \( + \frac{D}{{(x - d)}}\)
Ainsi \(\int {\frac{{F(x)}}{{f(x)}}} dx\) \( = \int {\frac{A}{{(x - a)}}dx} \) \( + \int {\frac{B}{{(x - b)}}} dx\) \( + ... + \) \(\int {\frac{D}{{(x - d)}}} dx\)

Soit \(\int {\frac{{F(x)}}{{f(x)}}} dx = \) \(ALog\left| {x - a} \right| + \) \(BLog\left| {x - b} \right|\) \( + ... + \) \(DLog\left| {x - d} \right|\) \( + cte\)

II^ième cas : Les racines du dénominateur sont toutes réelles, mais certaines sont multiples:

C’est-à-dire \(f(x) = \) \({\left( {x - a} \right)^\alpha }\) \({\left( {x - b} \right)^\beta }...\) \({\left( {x - d} \right)^\delta }\)
Dans ce cas, la fraction \({\frac{{F(x)}}{{f(x)}}}\) peut être décomposée en éléments x simples des types I et II.

III^ième cas : Le dénominateur a des racines complexes simples (c'est-à-dire différentes)

C’est-à-dire \(f(x) = \) \(\left( {{x^2} + px + q} \right)\) \(...{\left( {{x^2} + lx + s} \right)^\alpha }\) \(...{\left( {x - d} \right)^\delta }\)
Dans ce cas, la fraction \({\frac{{F(x)}}{{f(x)}}}\) se décompose en éléments simples  de types I, II, III.

IV^ième cas : Le dénominateur comporte également des racines complexes multiples

C’est-à-dire \(f(x) = \) \({\left( {{x^2} + px + q} \right)^\alpha }\) \(...{\left( {{x^2} + lx + s} \right)^\beta }\) \(...{\left( {x - d} \right)^\delta }\)
Dans ce cas, les éléments simples du type IV entrent aussi dans la décomposition de la fraction