Nous n'avons étudié jusqu'ici les intégrales des fonctions algébriques (rationnelles ou irrationnelles), nous considèrerons l'intégration de certaines classes de fonctions Trigonométriques de la forme : \(\int {f(\sin x,} \) \(\cos x)dx\)
Montrons que cette intégrale peut toujours être ramenée à une intégrale d'une fonction rationnelle par le changement de variable \(\tan \frac{x}{2} = t\) avec \(dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\)
En effet, nous pouvons exprimer \({\sin x}\), \({\cos x}\) en fonction de \(t\).
• \(\sin x = \) \(\frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{1}\) \( = \) \(\frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\) \( = \) \(\frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}\) \( = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\)
• \(\cos x = \) \(\frac{{{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{1}\) \( = \) \(\frac{{{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\) \( = \) \(\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}\) \( = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Ainsi
\(\int {f(\sin x,} \) \(\cos x)dx = \) \(\int {f(\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},} \) \(\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\)
Exemple : \(\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \) \(\int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}}} \) \( = \int {\frac{{dt}}{t}} = \) \(Log\left| t \right| + cte\) \( = Log\left| {\tan \frac{x}{2}} \right|\) \( + cte\)
Le changement de variable considéré résout le problème de l'intégration de toute expression de la forme \(f(\sin x,\) \(\cos x)dx\). C'est pourquoi, il est parfois appelé « changement de variable universel pour l'intégration des expressions trigonométriques ».
En réalité ce changement de variable conduit fréquemment à des fonctions trop compliquées. Pour cette raison, il est parfois préférable de ne pas l’utiliser, mais d'avoir recours à d'autres méthodes menant plus rapidement à une intégration facile.
a) Pour une intégrale est de la forme \(\int {f(\sin x)} \) \(\cos xdx\)
Le changement de variable \(\sin x = t\) et \(dx = \frac{1}{{\cos x}}dt\) nous conduit à une intégrale de la forme \(\int {f(t)} dt\)
b) Pour une intégrale est de la forme \(\int {f(\cos x)} \) \(\sin xdx\)
Le changement de variable \(\cos x = t\) et \(dx = \frac{-1}{{\sin x}}dt\) nous conduit à une intégrale de la forme \(\int {f(t)} dt\)
c) Pour une intégrale ne dépendant que de \(\tan x\)
Le changement de variable \(\tan x = t\), \(x = \arctan t\) et \(dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\) nous ramène à une intégrale d'une fonction rationnelle de la forme \(\int {f(\tan x)} dx\) \( = \) \(\int {f(t)} \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\)
d) Pour une intégrale est de la forme \(\int {f(\sin x,} \) \(\cos x)dx\)
avec \({\sin x}\)et \({\cos x}\) ne figurent qu'aux puissances paires , nous pouvons utiliser les changements de variable
• \({\cos ^2}x = \) \(\frac{1}{{1 - {{\tan }^2}x}}\) \( = \frac{1}{{1 + {t^2}}}\)
• \({\sin ^2}x = \) \(\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\) \( = \frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
• \(dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\)
e) Pour une intégrale est de la forme \(\int {f({{\sin }^m}x,} \) \({\cos ^n}x)dx\) avec \(m\) et \(n\) sont des nombres entiers
Trois cas s’offrent à nous
1) l'un au moins des nombres \(m\) et \(n\) est impair.
Supposons pour fixer les idées que \(n\) est impair. Posons \(n = 2p + 1\) et transformons l'intégrale :
\(\int {{{\sin }^m}x} \) \({\cos ^{2p + 1}}xdx = \) \(\int {{{\sin }^m}x} \) \({\cos ^{2p}}x\cos dx = \) \(\int {{{\sin }^m}x} \) \({\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^p}\) \(\cos xdx\)
En effectuant le changement de variable \(\sin x = t\) et \(\cos xdx = dt\), nous obtenons
\(\int {{{\sin }^m}x} \) \({\cos ^n}xdx = \) \(\int {{t^m}{{(1 - {t^2})}^p}dt} \)
2) \(m\) et \(n\) sont des nombres pairs non négatifs.
Posons \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2p\\n = 2q\end{array} \right.\) ainsi
• \({\sin ^2}x = \frac{1}{2}\) \( - \frac{1}{2}\cos 2x\) (a)
• \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\) \( + \frac{1}{2}\cos 2x\) (a)
\(\int {{{\sin }^{2p}}x} \) \({\cos ^{2q}}xdx\) \( = \) \(\int {{{\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)}^p}} \) \({\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x} \right)^q}dt\)
On obtient un développement suivant les puissances paires et impaires de \({\cos 2x}\). Les termes contenant des puissances impaires peuvent être intégrés comme nous l'avons indiqué dans le cas 1). Pour les termes contenant des puissances paires, nous appliquons successivement la formule (a) afin d'abaisser le degré de ces puissances.
En procédant de cette manière, on arrive finalement à des termes de la forme \(\int {\cos kxdx} \) que l'on intègre facilement.
Exemple \(I = \) \(\int {{{\sin }^4}xdx} \) \( = \frac{1}{{{2^2}}}\) \({\int {\left( {1 - \cos 2x} \right)} ^2}\) \(dx = \frac{1}{4}\) \(\int {(1 - 2\cos 2x} \) \( + {\cos ^2}2x)dx\)
\(I = \) \(\frac{1}{4}\left( {x - \sin 2x} \right)\) \( + \frac{1}{8}\) \(\int {\left( {1 - \cos 4x} \right)} dx\) \( = \frac{3}{8}x - \) \(\frac{1}{4}\sin 2x + \) \(\frac{{\sin 4x}}{{32}} + cte\)
3) Les deux exposants sont pairs et si l'un d'eux au moins est négatif
la méthode indiquée dans le cas 2) est sans effet. Il faut alors poser \(\tan x = t\) ou \(cotanx = t\).
f) Pour une intégrale est de la forme \(\int {\cos mx} ,\) \(\cos nxdx\), \(\int {\sin mx} ,\) \(\cos nxdx\), et \(\int {\sin mx} ,\) \(\sin nxdx\)
On peut les calculer en utilisant les formules suivantes (\(m \ne n\))
• \(\cos mx\cos nx\) \( = \frac{1}{2}(\cos (m + n)x\) \( + \cos (m - n)x)\)
• \(\sin mx\cos nx\) \( = \frac{1}{2}(\sin (m + n)x\) \( + \cos (m - n)x)\)
• \(\sin mx\sin nx = \) \(\frac{1}{2}( - \cos (m + n)x\) \( + \cos (m - n)x)\)
