Correction exercice I

a) A et B se produisent, il s’agit ici de la conjonction de A et de B, par conséquent, on a : \(A \cap B\) ;
b) A se produit seul, donc B et C ne se produisent pas, il s’agit alors de la conjonction de A, \(\overline B \) et \(\overline C \) ou \(\overline B \) et \(\overline C \) sont les évènements contraires de B et C respectivement. Ainsi : \(A \cap \overline B \cap \overline C \) ;
c) A et B se produissent et non C. il s’agit de la conjonction de A, B et \(\overline C \)
\(A \cap B \cap \overline C \)
d) Au moins l’un des trois évènements se produit, il s’agit de l’union de ces trois évènements :
\(A \cup B \cup C\)
e) Au moins deux des trois evenements se produissent, il s’agit de \(A \cap B\), \(A \cap C\) et \(B \cap C\), ainsi \(A \cap B \cup B\) \( \cap C \cup C \cap A\) ;
f) Exactement 2 des 3 évènements se produisent, il s’agit de l’union des évènements \(A \cap B \cap \overline C \), \(A \cap \overline B \cap C\) et \(\overline A \cap B \cap C\)
\(\left( {\overline A \cap B \cap C} \right) \cup \) \(\left( {A \cap \overline B \cap C} \right) \cup \) \(\left( {A \cap B \cap \overline C } \right)\);
g) Aucun de ces evenements ne se produit, il s’agit de la conjonction des évènements \({\overline A }\), \({\overline B }\) et \({\overline C }\)
\(\overline A \cap \overline B \cap \overline C \)

Correction exercice II

Déterminons les probabilités de évènements élémentaires dans l’univers \(A = \left\{ {a,b,c,d} \right\}\) sachant que :
• \(P(\{ a,b,c\} ) = \frac{1}{2}\) ;
• \(P(\{ a,b,d\} ) = \frac{2}{3}\) ;
• \(P(\{ b,c\} ) = \frac{10}{21}\).
Pour déterminer ces probabilités, notons de prime abord que :
\(P(\{ a,b,c\} ) = \) \(P(\{ a\} ) + P(\{ b\} ) + \) \(P(\{ c\} ) = \frac{1}{2}\)

\(P(\{ a,b,d\} ) = P(\{ a\} )\) \( + P(\{ b\} ) + P(\{ d\} )\) \( = \frac{2}{3}\)
\(P(\{ b,c\} ) = P(\{ b\} ) + \) \(P(\{ c\} ) = \frac{{10}}{{21}}\)
\(P(A) = P(\{ a\} ) + P(\{ b\} )\) \( + P(\{ c\} ) + P(\{ d\} )\) \( = 1\)
En résolvant ce système d’équation, nous avons :
\(P(\{ a\} ) = \frac{1}{{42}}\), \(P(\{ b\} ) = \frac{1}{7}\), \(P(\{ c\} ) = \frac{1}{3}\) et \(P(\{ d\} ) = \frac{1}{2}\)