Correction exercice n° 1
Soit f la fonction numérique définie par : \(f(x) = \) \(\frac{{\ln (x + 1)}}{x}\) , où ln désigne le logarithme népérien.
1. Etudions les variations de f et donnons l’allure de son graphe.
La fonction f est définie pour \(x \succ - 1\) et \(x \ne 0\). Mais \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\), on peut donc prolonger par continuité la fonction en posant : \(f(0) = 1\).
Sa dérivée est égale à
\(f'(x) = \) \(\frac{{x - (x + 1)\ln (x + 1)}}{{{x^2}(x + 1)}}\)
Cette dérivée est négative sur l’ensemble de définition et la fonction est donc strictement décroissante de \(\left] { - 1, + \infty } \right[\) sur \(\left] { + \infty ,0} \right[\). Le graphe de f admet deux asymptotes : x=-1 (verticale) et y=0 (horizontale). La fonction est convexe sur son ensemble de définition.
2. Montrons que f admet un unique point fixe sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs.
La recherche d’un point fixe revient à résoudre l’équation : \(f(x) = x\). Ce qui revient à résoudre :
\(\ln (x + 1)\) \( - {x^2} = 0\) . On étudie donc cette fonction \(z = \ln (x + 1)\) \( - {x^2} = 0\) et son tableau de variation montre l’existence d’un point unique avec le théorème des valeurs intermédiaires.
3. Calculons \(\int\limits_1^e {\frac{x}{{x + 1}}f(x)} dx\)
Soit \(I = \) \(\int\limits_1^e {\frac{x}{{x + 1}}f(x)} dx\) \( = \int\limits_1^e {\frac{{\ln (x + 1)}}{{x + 1}}dx} \) \( = \frac{1}{2}\left[ {{{\ln }^2}(x + 1)} \right]_1^e\) \( = \frac{1}{2}({\ln ^2}(e + 1)\) \( - {\ln ^2}(2))\)
Correction exercice n° 2
Soit f la fonction numérique définie par :
\(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)
1. Etudions les variations de f et tracer son graphe.
Sa dérivée est égale à : \(f'(x) = \) \(\frac{{x(x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) et cette dérivée s‘annule en 0 et -2. La courbe admet une asymptote verticale d’équation \(x = - 1\) et une asymptote oblique d’équation \(y = x - 1\)
La fonction est strictement croissante de \(\left] { - \infty , - 2} \right]\) sur \(\left] { - \infty , - 4} \right]\),
La fonction est strictement décroissante de \(\left[ { - 2 - 1} \right[\) sur \(\left[ { - 4, - \infty } \right[\),
La fonction est strictement décroissante de \(\left] { - 1,0} \right]\) sur \(\left] { + \infty ,0} \right]\),
La fonction est strictement croissante de \(\left[ {0, + \infty } \right[\) sur \(\left[ {0, + \infty } \right[\),
La courbe se présente sous la forme d’une hyperbole oblique.
3. Calculons \(\int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
\(I = \) \(\int\limits_0^1 {f(x)dx} = \) \(\int_0^1 {(x - 1 + \frac{1}{{x + 1}})dx = } \) \([\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln (x + 1)]_0^1\) \( = - \frac{1}{2} + \ln 2\)
3. Montrons que f admet un centre de symétrie que l’on précisera.
Le point A de coordonnées (-1, -2) est un centre de symétrie, en effet si on pose : \(X = x + 1\) et \(Y = y + 2\) , on obtient : \(Y = X + \frac{1}{X}\) qui est une fonction impaire.
4. On considère la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par : \({u_0} \ne - 1\) et \({u_{n + 1}} = f({u_n})\). Etudions la convergence de cette suite selon les valeurs de u0 .
Si la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est convergente, sa limite l vérifie : \(l = f(l)\), à savoir \(l = 0\).
Pour \({u_0} = 0\) , on vérifie par récurrence que \({u_n} \succ 0\) de plus \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \) \(\frac{{{u_n}}}{{1 + {u_n}}} \prec 1\). La suite est donc décroissante et minorée, elle converge vers zéro.
Pour \({u_0} = 0\), la suite est stationnaire égale à zéro.
Pour \( - 1 \prec {u_0} \prec 0\), on a : \({u_1} = \) \(\frac{{u_0^2}}{{1 + {u_0}}} \succ 0\), et on se ramène au premier cas où la suite converge vers zéro.
Enfin pour \({{u_0} \prec 1}\), on vérifie que : \({u_{n + 1}} \prec {u_n}\) \( \prec - 1\). Si la suite était convergente, sa limite serait inférieure à -1, donc elle est divergente.
