Partie A : Évaluation des ressources. 15 points

Exercice I 5 points

1. Déterminons les limites de f en $+ \infty$ et $- \infty$ :
On a ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty$ et $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ 1 pt
2. Donnons le sens de variation de $f$ sur $R$ : 1 pt
D’après la représentation graphique :
$f$ est strictement croissante sur $R$. 1 pt
3. Déterminons une équation de l’asymptote $(T)$ à $(C_f)$ :
L’asymptote $\left( T \right):y = ax + b$ passe par les points de coordonnées $\left( {0; - 1} \right)\;$ et $\;\left( {1;0} \right)$ donc on a $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 0}\\ {b = - 1} \end{array}\;} \right.$donc ${\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}} \right.}$ d’où $\left( T \right):y = x - 1$ 1 pt
4.a) Déterminons $a$ et $b$ :
On a $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 \right) = 0}\\ {f\left( 1 \right) = e} \end{array}} \right.$ donc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b + 1 = 0}\\ {a + b + e = e} \end{array}\;} \right.$donc ${\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}} \right.}$ d’où $f\left( x \right) = x - 1 + {e^x}$ 1 pt
4.b) Montrons que $F$ est la primitive de $f$ sur $R$ qui prend la valeur 1 en 0 :
On a : pour tout $x \in R$, $F$ est dérivable et on a $F'\left( x \right) = 2\frac{1}{2}x$ $- 1 + {e^x} = x$ $- 1 + {e^x} =$ $f\left( x \right)$ et $F\left( 0 \right) = 1$ donc $F$ est la primitive de $f$ sur $R$ qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 2 5 points

Copions et complétons le tableau : 2 pts

2. Calculons la probabilité de chacun des évènements :
A « le personnel choisi est un personnel non enseignant » 1 pt
On a : $p\left( A \right) =$ $\frac{{C_{50}^1 \times C_{150}^0}}{{C_{200}^1}}$ $= \frac{{50}}{{200}} = \frac{1}{4}$
B « le personnel choisi est une femme enseignante » 1 pt
On a : $p\left( B \right) =$ $\frac{{C_{50}^1 \times C_{150}^0}}{{C_{200}^1}} =$ $\frac{{50}}{{200}} = \frac{1}{4}$
C « le personnel choisi est une femme » 1 pt
On a : $p\left( C \right) =$ $\frac{{C_{80}^1 \times C_{120}^0}}{{C_{200}^1}} =$ $\frac{{80}}{{200}} = \frac{2}{5}$

Exercice 3 5 points

1. Représentons le nuage de points associés à cette série statistique : 2 pts
2. Déterminons les coordonnées du point moyen G :
On a : $G\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{98 + ... + 200}}{6}}\\ {\frac{{4 + ... + 15}}{6}} \end{array}} \right)$ donc $G\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {139}\\ 8 \end{array}} \right)$. 1 pt
3. Montrons qu’une équation cartésienne de la droite de Mayer est $y = 0,12x - 8,68$ :
On a les séries suivantes :

et

Qui ont pour point moyen ${G_1}\left( {114;5} \right)$ et ${G_2}\left( {164;11} \right)$ respectivement et la droite de Mayer est la droite $\left( {{G_1}{G_2}} \right):$ $y = ax + b$ passant par les points $G_1$ et $G_2$ on a donc le système $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 = 114a + b}\\ {11 = 164a + b} \end{array}} \right.$ donc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 0,12}\\ {b = - 8,68} \end{array}} \right.$ donc $\left( {{G_1}{G_2}} \right):y =$ $0,12x - 8,68$ d’où le résultat.
4. Déterminons le nombre de lycées d’un arrondissement de 239000habitants.
Soit $n$ ce nombre, on a : $n = 0,12 \times 239$ $- 8,68 = 20$ donc on aura 20 lycées dans cet arrondissement.

Partie B : Évaluation des compétences. 5 pts

Tâche1
Déterminons la longueur de fil barbelé nécessaire pour le champ de Douda qui correspond au périmètre du champ. 1,5 pt
• Déterminons la longueur x du champ carré :
On a : $6100 = {x^2} +$ $30\left( {70 + x} \right)$ c’est-à-dire ${x^2} + 30x -$ $4000 = 0$ donc $x = 50$ ou $x = - 80$ or $x$ est une longueur donc $x=50m$.
• Déterminons le périmètre p du champ :
On a $p = 3 \times 50m +$ $2 \times 30m + 70m$ $+ 120m = 400m$
Donc Douda aura besoin de 400m de fil barbelé pour entourer son champ.

Tâche2
Déterminons le montant de la dépense à la quincaillerie : 1,5 pt
• Déterminons le prix de chaque article :
Soient $x$ et $y$ les prix d’une machette et d’une pioche respectivement, on a le système suivant : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 2y = 24000}\\ {6x + 5y = 32000} \end{array}} \right.$ c'est à dire ${\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2000}\\ {y = 4000} \end{array}} \right.}$ donc une machette coute 2000frs et une pioche coûte 4000frs.
• Le montant d de la dépense à la quincaillerie est :
$d = 4 \times 2000frs$ $+ 5 \times 4000frs =$ $28000frs$
Donc le montant dépensé à la quincaillerie est de 28000frs.

Tâche3
Déterminons le prix de vente de chaque type de denrée alimentaire : 1.5 pt
Soient $x$ ; $y$ et $z$ les prix d’un sac de piment, d’un sac du maïs et d’un sac de soja respectivement, on a le système suivant :
$\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 3y = 28500}\\{2y + z = 61000}\\{7x + 5y = 177500} \end{array}} \right.$ donc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 7500}\\ {y = 4500}\\ {z = 25000} \end{array}} \right.$ d’où le prix du sac de piment est 7500frs, celui du sac de maïs est 4500frs et en fin celui du sac de soja est 25000frs.