Partie A : Évaluation des ressources. 15 points

Exercice I 5 points

1. Déterminons les limites de f en \( + \infty \) et \( - \infty \) :
On a ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) 1 pt
2. Donnons le sens de variation de \(f\) sur \(R\) : 1 pt
D’après la représentation graphique :
\(f\) est strictement croissante sur \(R\). 1 pt
3. Déterminons une équation de l’asymptote \((T)\) à \((C_f)\) :
L’asymptote \(\left( T \right):y = ax + b\) passe par les points de coordonnées \(\left( {0; - 1} \right)\;\) et \(\;\left( {1;0} \right)\) donc on a \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 0}\\ {b = - 1} \end{array}\;} \right.\)donc \({\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}} \right.}\) d’où \(\left( T \right):y = x - 1\) 1 pt
4.a) Déterminons \(a\) et \(b\) :
On a \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 \right) = 0}\\ {f\left( 1 \right) = e} \end{array}} \right.\) donc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b + 1 = 0}\\ {a + b + e = e} \end{array}\;} \right.\)donc \({\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}} \right.}\) d’où \(f\left( x \right) = x - 1 + {e^x}\) 1 pt
4.b) Montrons que \(F\) est la primitive de \(f\) sur \(R\) qui prend la valeur 1 en 0 :
On a : pour tout \(x \in R\), \(F\) est dérivable et on a \(F'\left( x \right) = 2\frac{1}{2}x\) \( - 1 + {e^x} = x\) \( - 1 + {e^x} = \) \(f\left( x \right)\) et \(F\left( 0 \right) = 1\) donc \(F\) est la primitive de \(f\) sur \(R\) qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 2 5 points

Copions et complétons le tableau : 2 pts

2. Calculons la probabilité de chacun des évènements :
A « le personnel choisi est un personnel non enseignant » 1 pt
On a : \(p\left( A \right) = \) \(\frac{{C_{50}^1 \times C_{150}^0}}{{C_{200}^1}}\) \( = \frac{{50}}{{200}} = \frac{1}{4}\)
B « le personnel choisi est une femme enseignante » 1 pt
On a : \(p\left( B \right) = \) \(\frac{{C_{50}^1 \times C_{150}^0}}{{C_{200}^1}} = \) \(\frac{{50}}{{200}} = \frac{1}{4}\)
C « le personnel choisi est une femme » 1 pt
On a : \(p\left( C \right) = \) \(\frac{{C_{80}^1 \times C_{120}^0}}{{C_{200}^1}} = \) \(\frac{{80}}{{200}} = \frac{2}{5}\)

Exercice 3 5 points

1. Représentons le nuage de points associés à cette série statistique : 2 pts
2. Déterminons les coordonnées du point moyen G :
On a : \(G\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{98 + ... + 200}}{6}}\\ {\frac{{4 + ... + 15}}{6}} \end{array}} \right)\) donc \(G\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {139}\\ 8 \end{array}} \right)\). 1 pt
3. Montrons qu’une équation cartésienne de la droite de Mayer est \(y = 0,12x - 8,68\) :
On a les séries suivantes :

et

Qui ont pour point moyen \({G_1}\left( {114;5} \right)\) et \({G_2}\left( {164;11} \right)\) respectivement et la droite de Mayer est la droite \(\left( {{G_1}{G_2}} \right):\) \(y = ax + b\) passant par les points \(G_1\) et \(G_2\) on a donc le système \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 = 114a + b}\\ {11 = 164a + b} \end{array}} \right.\) donc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 0,12}\\ {b = - 8,68} \end{array}} \right.\) donc \(\left( {{G_1}{G_2}} \right):y = \) \(0,12x - 8,68\) d’où le résultat.
4. Déterminons le nombre de lycées d’un arrondissement de 239000habitants.
Soit \(n\) ce nombre, on a : \(n = 0,12 \times 239\) \( - 8,68 = 20\) donc on aura 20 lycées dans cet arrondissement.

Partie B : Évaluation des compétences. 5 pts

Tâche1
Déterminons la longueur de fil barbelé nécessaire pour le champ de Douda qui correspond au périmètre du champ. 1,5 pt
• Déterminons la longueur x du champ carré :
On a : \(6100 = {x^2} + \) \(30\left( {70 + x} \right)\) c’est-à-dire \({x^2} + 30x - \) \(4000 = 0\) donc \(x = 50\) ou \(x = - 80\) or \(x\) est une longueur donc \(x=50m\).
• Déterminons le périmètre p du champ :
On a \(p = 3 \times 50m + \) \(2 \times 30m + 70m\) \( + 120m = 400m\)
Donc Douda aura besoin de 400m de fil barbelé pour entourer son champ.

Tâche2
Déterminons le montant de la dépense à la quincaillerie : 1,5 pt
• Déterminons le prix de chaque article :
Soient \(x\) et \(y\) les prix d’une machette et d’une pioche respectivement, on a le système suivant : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 2y = 24000}\\ {6x + 5y = 32000} \end{array}} \right.\) c'est à dire \({\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2000}\\ {y = 4000} \end{array}} \right.}\) donc une machette coute 2000frs et une pioche coûte 4000frs.
• Le montant d de la dépense à la quincaillerie est :
\(d = 4 \times 2000frs\) \( + 5 \times 4000frs = \) \(28000frs\)
Donc le montant dépensé à la quincaillerie est de 28000frs.

Tâche3
Déterminons le prix de vente de chaque type de denrée alimentaire : 1.5 pt
Soient \(x\) ; \(y\) et \(z\) les prix d’un sac de piment, d’un sac du maïs et d’un sac de soja respectivement, on a le système suivant :
\(\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 3y = 28500}\\{2y + z = 61000}\\{7x + 5y = 177500} \end{array}} \right.\) donc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 7500}\\
{y = 4500}\\ {z = 25000} \end{array}} \right.\) d’où le prix du sac de piment est 7500frs, celui du sac de maïs est 4500frs et en fin celui du sac de soja est 25000frs.