PARTIE A : Évaluation des Ressources (15 points)

Exercice 1 4 points

1. Démontrons que G est le milieu de [AI]. 1 pt
I est le milieu de [BC], c'est-à-dire 1 = bar{(B;1),(C; 1)}. G = bar{(A; 2), (B; 1), (C; 1)}; ainsi G = bar{(A; 2), (1; 2)} donc G est le milieu de [AI].
2. Démontrons que \(\left( \Sigma \right)\) est un cercle de centre G passant par A et faisons une figure où on représentera \(\left( \Sigma \right)\). 2 pt
• \(\left\| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right\| = BC\) \( \Rightarrow \left\| {4\overrightarrow {MG} } \right\| = BC\) puisque G = bar{(A; 2), (B;1), (C; 1)}.
Ainsi \(MG = \frac{{BC}}{4}\)-. Donc \(\left( \Sigma \right)\) est le cercle de centre G et de rayon \(\frac{{BC}}{4}\).
\(\left\| {2\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right\|\) \( = \left\| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right\|\)
\({\left\| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right\|^2} = {(\overrightarrow {AB} )^2}\) \( + {(\overrightarrow {AC} )^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\({(\overrightarrow {AB} )^2} + {(\overrightarrow {AC} )^2} = B{C^2}\) car ABC est triangle rectangle en A. Ainsi \(\left\| {2\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right\| = BC\); donc \(A \in \left( \Sigma \right)\).
\(\left( \Sigma \right)\) est donc le cercle de centre G passant par A.
Faisons la figure
3) Déterminons et représentons \(\left( {\Sigma '} \right)\) image de \(\left( \Sigma \right)\) par la rotation \(r\) de centre A et d'angle \( - \frac{\pi }{2}\). 1 pt
\(\left( {\Sigma '} \right)\) est le cercle de centre G' image de G par la rotation \(r\) et de même rayon que \(\left( \Sigma \right)\)
Pour la représentation de \(\left( {\Sigma '} \right)\), voir figure précédente.

EXERCICE 2 ; (5 points)

1. Résolvons dans \({\mathbb{R}^3}\) le système d'inconnue \((X; Y; Z)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}27X + 9Y + 3Z = 0\\X + Y + Z = - 4\\27X + 6Y + Z = 0\end{array} \right.\) 1 pt
\(27X + 6Y + Y = 0\) \( \Rightarrow Z = - 27X - 6Y\). En substituant Z dans les deux autres équations du système on obtient \(\left\{ \begin{array}{l}6X + Y = 0\\ - 26X - 5Y = - 4\end{array} \right.\)
Soit \(\left\{ \begin{array}{l}X = - 1\\Y = 6\\Z = - 9\end{array} \right.\)
2. Déterminons les réel a, b et c sachant que (Cg) coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et admet au point S de coordonnées (3; 4) une tangente parallèle à l'axe des abscisses. 1 pt
\(g(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 4\)
• \(g(1) = 0 \Rightarrow \) \(a + b + c + 4 = 0\)
• \(g(3) = 4 \Rightarrow \) \(27a + 9b + 3c = 0\)
• \(g'(3) = 0 \Rightarrow \) \(27a + 6b + c = 0\)
D’après le système précèdent \( a = -1\), \(b = 6 \) et \( c = - 9 \)
3.) Dressons le tableau de variation de f et traçons avec soin la courbe \(\left( {Cf} \right)\) 2 pts
\(f(x) = - {x^3} + 3{x^2}\)
• \(Df = \mathbb{R}\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \)
• \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x) = - 3{x^2} + 6x\)
• \(f'(x) = 0\) équivaut à \(x=0\) ou \(x=2\).
• Tableau de variation :
• Courbe représentative
4) Vérifions que \(g(x) = f(x - 1)\) et représentons alors la courbe \((Cg)\).
Soit \(x\) un réel, \(g(x) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 4\)
\(f(x - 1) = - {x^3} + 6{x^2}\) \( - 9x + 4 = g(x)\)
Donc \(g(x) = f(x - 1)\)
• Représentons graphiquement la courbe \((Cg)\), \((Cg)\) est limage de \((Cf)\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow i \) ( voir figure)

Exercice 3 ( 3 points)

1. Démontrons que pour tout \(x\), on a \( - 2 + \cos x \prec 0\) 0, 75 pt
Pour tout \(x\), \( - 1 \le \cos x \le 1\) ainsi \( - 3 \le - 2 + \cos x \le - 1 \prec 0\)
Donc pour tout \(x\), \( - 2 + \cos x \prec 0\)
2) Démontrons que pour tout \(x\), on a \( - 3\cos - 2{\sin ^2}x = \) \(\left( {1 + 2\cos x} \right)\left( { - 2 + \cos x} \right)\)
Soit \(x\) un nombre réel
\( - 3\cos - 2{\sin ^2}x = \) \( - 3\cos x - 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = \) \(2{\cos ^2} - 3\cos x - 2 = \) \(\left( {1 + 2\cos x} \right)\left( { - 2 + \cos x} \right)\)
Donc pour tout réel \(x\), \( - 3\cos x - 2{\sin ^2}x = \) \(\left( {1 + 2\cos x} \right)\left( { - 2 + \cos x} \right)\) 0,5 pt
3) Résolvons alors dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\), l’équation \( - 3\cos - 2{\sin ^2}x = 0\)
\( - 3\cos - 2{\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow \) \(\left( {1 + 2\cos x} \right)\left( { - 2 + \cos x} \right) = 0\)
Soit \(\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\) ou \(\left( { - 2 + \cos x} \right) = 0\)
Ainsi \(\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\) \(\cos x = - \frac{1}{2}\)
Dans \(\mathbb{R}\), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \) et \(x = - \frac{{2\pi }}{3} + 2\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
Dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\),\(x = \frac{{2\pi }}{3}\) ou \(x = \frac{{4\pi }}{3}\)
4) Résolvons dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\), l’inéquation \( - 3\cos x - 2{\sin ^2}x \succ 0\)
A partir du tableau de signe de \( - 3\cos x - 2{\sin ^2}x\), vous trouverez \({S_{\left[ {0,2\pi } \right[}} = \left] {\frac{{2\pi }}{3},\frac{{4\pi }}{3}} \right[\)

Exercice 4 / ( 3 points )

1) Déterminons le temps moyen consacré à la télévision le dimanche 0,5 pt
\(M = \frac{{357,5}}{{100}} = 3,575\)
2.) Construisons la courbe des fréquences cumulées croissantes. 1,5 pt
3) Déterminons la médiane de cette série statistique. 1 pt
Désignons par \({{m_e}}\)cette médiane.
Par interpolation linéaire ou par lecture graphique, on a : \(\frac{{{m_e} - 3}}{{50 - 45}} = \frac{{4 - 3}}{{65 - 45}}\)
Donc \({m_e} = 3,25\)

PARTIE B: Évaluation des compétences (5 points)

1) Déterminons le montant de chaque dépôt d'argent dont KASSIM a besoin pour éponger sa dette et le nombre de ces dépôts.
Désignons par \(n\) le nombre de dépôts.
• Le montant de chaque dépôt est : \(\frac{{20000000}}{n}\)
Le montant de chaque dépôt si la dette était épongée 2 ans plutôt est : \(\frac{{20000000}}{{n - 2}}\)
\(\frac{{20000000}}{{n - 2}} = \) \(\frac{{20000000}}{n} + 500000\); soit \(\frac{{200}}{{n - 2}} = \frac{{200}}{n} + 5\)
On obtient \(5{n^2} - 10n - 400 = 0\); son \({n^2} - 2n - 80 = 0\)
\(\left\{ \begin{array}{l}n = - 8\\n = 10\end{array} \right.\)
Or \(n\) est un entier positif donc \(n = 10\)
Le montant de chaque dépôt est \(\frac{{20000000}}{{10}} = 2000000\)
Donc Kassim effectuera 10 dépôts et le montant de chaque dépôt est de 2 000 000 FCFA
2) Trouvons comment choisir les dimensions de l'espace rectangulaire à délimiter pour que la longueur totale de la clôture soit minimale.
Désignons respectivement par \(x\) et \(y\) la largeur et la longueur en mètres de cet espace rectangulaire. \(x \succ 0\) et \(y \succ 0\).
Longueur de la clôture \(L = 2x + y\).
On a \(xy = 4,5ha\) = 45 000 m2 donc \(y = \frac{{45000}}{x}\)
Ainsi \(L = 2x + \frac{{45000}}{x} = \) \(\frac{{2{x^2} + 4500}}{x}\)
Soit \(L\) la fonction qui à \(x\) associe \(L = \frac{{2{x^2} + 4500}}{x}\)
\(L'(x) = 2 - \frac{{45000}}{{{x^2}}}\) \( = \frac{{2{x^2} - 45000}}{{{x^2}}}\), \(L'(x) = 0\) équivaut à \(x = 150\) car \(x \succ 0\).
A partir du tableau de variation, pour que la longueur totale de la clôture soit minimale (600m), la largeur doit être égale à 150m et la longueur égale à \(y = \frac{{45000}}{{150}} = 300\); soit \( 300\) m
3) Déterminons le nombre de jours qu'il faudra au technicien pour creuser la fondation sur une longueur de 600 m..
Désignons par \({u_n}\) le nombre de mètres creusés; par le technicien le jour de rang \(n\) ;
On a \({u_1} = 20,5\) et \({u_{n + 1}} = {u_n} + 1\). \(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme \({u_1} = 20,5\); donc \({u_n} = \left( {n - 1} \right) + 20,5\)
Désignons par \({S_n}\) la longueur totale creusée parle technicien au bout de \(n\) jours de travail.
On a \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) \( = \frac{{({u_1} + {u_n})n}}{2}\) \( = \frac{{(40 + n)n}}{2}\)
\({S_n} = 600\) équivaut à \(\frac{{(40 + n)n}}{2} = 600\) soit \({n^2} + 40n - 1200 = 0\)
\(\left\{ \begin{array}{l}n = 20\\n = - 60\end{array} \right.\)
5 Donc il faudra 20 jours au technicien pour creuser les 600 m.

Présentation 0,5 pt