Partie A : Évaluation des ressources (13 points)

Exercice 1 : 4 points

Lors des oraux d'un concours, un candidat doit tirer au hasard successivement et sans remise trois questions dans une urne opaque qui contient 3 questions d'anglais, 4 questions de français et 5 questions de culture générale.
1) a) Déterminons le nombre de tirages possibles que le candidat peut effectuer. 1 pt
\(A_{12}^3 = 1320\)
b) Déterminons le nombre de tirages possibles comportant des questions de la même discipline. 1 pt
\(A_3^3 + A_4^3 + A_5^3 = 90\)
2) Réponse : b) 19, 96.
3) Réponse: d) 2.049

Exercice 2 : 3,5 points

On considère le polynôme \(\mathbb{Q}\) à variable réelle \(x\) défini par \(Q(x) = - 2{x^2} - 9x + 5\)
1) Résolvons dans \(\mathbb{R}\) L’équation \(Q(x) = 0\). 1,5 pt
\(Q(x) = 0 \Leftrightarrow \) \( - 2{x^2} - 9x + 5 = 0\)
\(\Delta = 121 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - 5\end{array} \right.\)
2) Étudions le signe du polynôme \(Q(.-x)\). 1 pt
Tableau de signe :

Donc \(Q(x) \prec 0\), pour tout \(x \in \left] { - \infty , - 5} \right[ \cup \left] {\frac{1}{2}, + \infty } \right[\)
Et \(Q(x) \succ 0\)\(x \in \left] { - 5,\frac{1}{2}} \right[\)

Exercice 3 : 5,5 points

On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\) définie dans
\(\left[ { - 6; - 2} \right[ \cup \left] { - 2;4} \right]\) par \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) \((C)\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\)
1) Calculons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x)\) 1 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = - \infty \)
2) Déduisons une équation cartésienne de l’asymptote verticale à la courbe \((C)\). 0,5 pt
De ce qui précède, \(x = - 2\) est asymptote verticale.
3. Montrons que pour tout réel \(x\) distinct de -2, \(f'(x) = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) 1 pt
\(f'(x) = \) \(\frac{{1\left( {x + 2} \right) - 1\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) \( = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) pour appartenant au domaine de définition.
4) Dressons le tableau de variations de \(f\). 0,75 pt
5) Écrivons une équation cartésienne de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d'abscisse 0. 0,75 pt
\((T):y = f'(0)(x - 0) + \) \(f(0) = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}\)
6) Traçons dans le repère \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\) la droite \((T)\), la courbe \((C)\) et son asymptote. 1,5 pt

Partie B : Évaluation des compétences (7 points)

Tâche 1
Déterminons le montant déboursé par M.POKA pour l’achat du grillage utilisé pour son terrain
Désignons par \(x\) et \(y\) respectivement la longueur et la largeur de ce terrain.
\(P = xy\) et \(S = 2x + 2y\) soit le système : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 26\\xy = 168\end{array} \right.\) qui nous permet d’avoir l’équation \({x^2} - 26x + 168\) de solution \(\Delta = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14\\y = 12\end{array} \right.\)
La longueur du grillage est 14 rn.
Montant déboursé par M. POKA : \(5000 \times 14 = 7000\) FCFA

Tâche 2 :
Calculons le montant que devrait débourser M.POKA pour l’achat de gateau apres la premiere hausse.
Désignons par \(x\) la taux de chaque hausse ; \(x \succ 0\)
• Prix du gâteau après la première hausse : \(20000 + \frac{{20000x}}{{10}}\) \( = 20000 + 200x\)
• Prix du gâteau après la deuxième hausse :
\(20000 + \frac{{20000x}}{{10}} + \) \(\frac{{\left( {20000 + 200x} \right)x}}{{100}} = \) \(20000 + 400x + 2{x^2}\)
Ainsi \(20000 + 400x + \) \(2{x^2} = 22050\) soit \({x^2} + 200x - 1025 = 0\)
\(\Delta = 44100 \Rightarrow x = 5\)
La montant du gâteau après la première hausse ost : \(20000 + 200 \times 5 = 21000\) FCFA.

Tâche 3

Déterminons le montant deboursee par M.POKA pour la participation de ses élèves aux olympiades.
Désignons par \(n\) le nombre d'élèves. En supposant que la probabilité de participation de chacun des élèves est la même.
• Montant que chaque élève est supposé apporter avant le départ : \(\frac{{96000}}{n}\) ;
• Montant que chaque élève est supposé apporter avant le départ et apres le désistement : \(\frac{{96000}}{n}\) ; \(\frac{{96000}}{{n - 2}}\)
Ainsi \(\frac{{96000}}{{n - 2}} = 4000 + \frac{{96000}}{n}\) \( \Rightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\)
\(\Delta = 196 \Rightarrow x = 5\left\{ \begin{array}{l}n = - 6\\n = 8\end{array} \right.\)
Donc la montant déboursé par M. POKA pour la participation de ses élèves est : \(8000 \times 8 = 64000\) F CFA.