Exercice I : Mouvement dans les champs de forces et leurs applications / 6 points
Partie A : Mouvement des satellites galiléen / 4,5pts
1. Expression de ${g_h}$ en fonction de ${M_J}$, ${R_J}$ h et G en un point M distant de r du centre de Jupiter, le champ de gravitation crée par Jupiter a pour expression :
${g_h} =$ $\frac{{G{M_J}}}{{{r^2}}}$ $=$ $\frac{{G{M_J}}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}$ (1) 0,75pt
Déduction de gh en fonction de g0, RJ et h. A la surface de Jupiter, h=0 et ${g_0} = \frac{{G{M_J}}}{{R_J^2}}$ (2)
En prenant le rapport membre aa membre des deux relations, nous avons :
$\frac{{(1)}}{{(2)}}$ $= \frac{{{g_h}}}{{{g_0}}}$ $=$ $\frac{{R_J^2}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}$
Ainsi :
${g_h} =$ ${g_0}\frac{{R_J^2}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}$ 0,25pt
2. Expression de la vitesse v en fonction de MJ, RJ et G
On montre que : ${g_h} =$ ${a_G} =$ ${a_n}$
${a_n}$ la composante normale de l’accélération du satellite
$\frac{{G{M_J}}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}$ $= \frac{{{v^2}}}{{h + {R_J}}}$ 0,5pt
Expression de la période T en fonction de MJ, RJ, h et G
Le satellite parcoure la circonférence de sa trajectoire soit une distance $2\pi r$ pendant la durée T (période) à la vitesse v
$T =$ $\frac{{2\pi r}}{v}$ 0,25pt
Soit
$T =$ $2\pi \sqrt {\frac{{{{({R_J} + h)}^3}}}{{G{M_J}}}}$ 0,25pt
3. Montrons que ${T^2}{a^{ - 3}}$ avec $a =$ ${R_J} + h$ est une constante qui dépend de la masse de Jupiter.
${T^2} =$ $4{\pi ^2}$ $\frac{{{{({R_J} + h)}^3}}}{{G{M_J}}}$ donc
$\frac{{{T^2}}}{{{{({R_J} + h)}^3}}}$ $= {T^2}{a^{ - 3}}$ $= 4{\pi ^2}$ $\frac{1}{{G{M_J}}}$ 0,25pt
Il en résulte que ${T^2}{a^{ - 3}}$ ne dépend que de MJ
4. Complétons la quatrième ligne du tableau 1pt

Déduction de la masse de Jupiter ${T^2}{a^{ - 3}} = k$
Avec K la moyenne des quatre valeurs trouvées dans le tableau
$k =$ $3,13 \times {10^{ - 16}}$ ${s^2}/{m^3}$ 0,25pt
$k =$ $\frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_J}}}$ $\Rightarrow$ ${M_J} =$ $\frac{{4{\pi ^2}}}{{kG}}$ 0,25pt
AN : ${M_J} =$ $1,89 \times {10^{27}}$ kg 0,25 pt
5. Déterminons la période de révolution T du satellite Léda
${T^2}{a^{ - 3}} =$ $k \Rightarrow$ $T = \sqrt {k{a^3}}$ 0,5pt
AN : $T = 241,75$ jours 0,5pt

Partie B Interactions électrons / 1,5 pt
1. Bilan des forces extérieures s’exerçant sur la tige 0,25x3=0,75pt
$\overrightarrow F$ Force électrostatique
$\overrightarrow P$ Poids de la tige
$\overrightarrow R$ Réaction de l’axe
2. Determinons la valeur de m
A l’equilibre, $\sum {{M_\Delta }(\overrightarrow {{F_{ext}}} ) = 0}$
Soit ${M_\Delta }(\overrightarrow P ) +$ ${M_\Delta }(\overrightarrow F )$ $+ {M_\Delta }(\overrightarrow R ) = 0$ 0,25 pt
$mg\frac{{OA}}{2}\sin (\alpha )$ $- FOA\cos (\alpha )$ $= 0$
$m =$ $\frac{{2\left| q \right|.E}}{{g\tan (\alpha )}}$ 0,25pt
AN : m= 0,043 kg 0,25pt

Exercice 2 : Systèmes oscillants /6 points
Partie A : Le pendule pesant /3 points
1. Expression de OG en fonction de R
2. Soit I le milieu de la tige
$\overrightarrow {OG} =$ $\frac{{M\overrightarrow {OI} + M\overrightarrow {AO} }}{{2M}}$ $= \frac{{3\overrightarrow {OI} }}{2}$
Il en resulte que : $OG = \frac{{3R}}{2}$ 0,5 pt
3. Expression de ${J_\Delta }$ en fonction de R et M
${J_\Delta } =$ ${J_\Delta }(t) +$ ${J_\Delta }(s) =$ $\frac{1}{3}M{(2R)^2}$ $+ M{(2R)^2}$ $= \frac{{10}}{3}M{R^2}$ 0,5 pt
3.1 Explication :
Le système est soumis à la réaction de l’axe et à son poids. Le moment de la réaction par rapport à l’axe étant nul et celui du poids non nul, le poids est une force de rappel . il résulte que ce système est un oscillateur 0,5pt
3.2 Equation différentielle du mouvement
À la position d’abscisse angulaire $\theta$
$\sum {{M_\Delta }(\overrightarrow F ext)}$ $= {J_\Delta }\ddot \theta$
${M_\Delta }(\overrightarrow R ) +$ ${M_\Delta }(\overrightarrow P )$ $= {J_\Delta }\ddot \theta$ 0,25 pt
$0 -$ $2Mg.$ $OG\sin (\theta )$ $= {J_\Delta }\ddot \theta$
$\ddot \theta +$ $\frac{{2Mg.OG}}{{{J_\Delta }}}$ $\sin (\theta ) = 0$
Avec ${J_\Delta } =$ $\frac{{16}}{3}M{R^2}$ et $OG = \frac{3}{2}R$
On a dont
$\ddot \theta +$ $\frac{{9g}}{{16R}}$ $\sin (\theta ) = 0$ 0,25pt
L’oscillateur est-il harmonique ?
- Non, il n’est pas harmonique 0,25 pt
- L’équation différentielle n’est pas linéaire 0,25 pt

Partie B : Décharge d’une bobine dans un condensateur /3 points
1. Intensité du courant qui traverse la bobine :
En régime permanent,
$I = \frac{E}{R}$
AN : E=12V, ${R = 25\Omega }$
I=0,48A 0,25pt
2. Explication
Soit r la résistance de la bobine, la tension aux bornes de la bobine est :
${u_b} = rI$ $+ \frac{{dI}}{{dt}}$ alors $r \approx 0$ et I constante soit ${u_b} = 0$
Il en résulte que ${u_c} = 0$ car, le condensateur et la bobine sont montés en dérivation. 0,25 pt
3. Equation différentielle
Pour $t \succ 0$, ${u_L} + {u_c}$ $= 0$ soit $L\frac{{di}}{{dt}} +$ ${u_c} = 0$ 0,25pt
$i = C\frac{{d{u_c}}}{{dt}}$ $\Leftrightarrow \frac{{di}}{{dt}}$ $= C\frac{{{d^2}{u_c}}}{{d{t^2}}}$ 0,25pt
Il en résulte que
$LC\frac{{{d^2}{u_c}}}{{d{t^2}}}$ $+ {u_c} = 0$
$\frac{{{d^2}{u_c}}}{{d{t^2}}} +$ $\frac{1}{{LC}}{u_c} = 0$ 0,5pt

4. Expression de ${u_c}(t)$.
${u_c}(t) =$ ${U_{\max }}$ $\cos ({\omega _0}t + \varphi )$ avec ${\omega _0} = \frac{1}{{LC}}$ $= 4303,3$ rad/s 0,25pt
- Valeur de $\varphi$
$\left\{ \begin{array}{l}uc = 0\\u{'_c} \succ 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}\cos (\varphi ) = 0\\ - \sin (\varphi ) \succ 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\varphi = -$ $\frac{\pi }{2}rad$ 0,25 pt
- Valeur de Umax
Umax est obtenue lorsque toute l’énergie magnétique de la bobine ($\frac{1}{2}L{I_0}$) est convertie en énergie électrique ($\frac{1}{2}CU_{\max }^2$) du condensateur, avec I0=0,48A
$\frac{1}{2}CU_{\max }^2$ $= \frac{1}{2}LI_0^2$ $\Rightarrow {U_{\max }}$ $= {I_0}\sqrt {\frac{L}{C}}$
Umax=247,9V
${u_c}(t) =$ $247,9$ $\cos (4303,3t$ $- \frac{\pi }{2})$ 0,25 pt

Exercice 3 : Phénomènes ondulatoires et corpusculaires /4 points
Partie A : Interférences mécaniques à la surface de l’eau /2 points
1. Conditions vérifiées par S1 et S2
S1 et S2 sont cohérentes et synchrones 0,25x2=0,5pt
2. Calcule de la longueur de l’onde
$\lambda = \frac{V}{f}$
AN : $\lambda = 20Hz$
3. Nombres de lignes, on a ${d_2} - {d_1}$ $= k\lambda$ et $\left| {{d_2} - {d_1}} \right|$ $\prec {S_1}{S_2}$ ainsi $\left| k \right|\lambda$ $\prec {S_1}{S_2}$ 0,25pt
AN : $\left| k \right| \prec 2,2$
$k \in \{ - 2;$ $- 1;0;1;2\}$
Il y a 3 lignes d’amplitudes maximales 0,25pt
4. Aspect de la surface de l’eau sous éclairage stroboscopique avec $f = fe$
Partie B Radioactivité / 2 points
1. Définition de la radioactivité :
C’est la propriété spécifique de certains noyaux instables de se transformer spontanément en émettant des rayonnements 0,25 pt
2. Equation bilan de la désintégration
${}_{84}^{210}Po$ $\to$ ${}_{82}^{206}Pb +$ ${}_2^4He$ 0,25 pt
3. Calcule de l’énergie libérée par la transformation d’un noyau
$E =$ $\left| {\Delta m} \right|{C^2}$
$E = ({M_{Po}}$ $- {M_{Pb}} -$ ${M_\alpha }){C^2}$ 0,25 pt
AN : $E = 7,64$ MeV 0,25pt
4. Calcule de la durée t
Soit p la fraction qui a disparu :
$p =$ $\frac{{No - N(t)}}{{No}}$ $= 1 - {e^{ - \lambda t}}$
${e^{ - \lambda t}} =$ $1 - p$ avec $\lambda = \frac{{\ln 2}}{T}$
$t = \frac{T}{{\ln 2}}$ $\ln (1 - p)$ 0,25 pt
AN : t=377,7jours 0,25pt

Exercice 4 Exploitation des résultats d’une expérience /4 points
1. Schéma annotée de la cellule photoémissive 0,25x3=0,75pt
2. Tracé du graphe $Uo = f(\frac{1}{\lambda })$

Respect de l’échelle 0,25x2=0,5 pt
Tracé de la droite 0,5pt3. Montrons que
$Uo =$ $a\frac{1}{\lambda } + b$
$eUo =$ $\frac{{hC}}{\lambda } +$ $\frac{{hC}}{{\lambda o}}$ $\Rightarrow$ $Uo =$ $\frac{{hC}}{e}\frac{1}{\lambda } -$ $\frac{{hC}}{{\lambda o}}$ 0,25pt
Avec $a = \frac{{hC}}{e}$ et $b = - \frac{{hC}}{{\lambda o}}$ 0,5pt
4. Determinons graphiquement :
• La constance de Planck h
$a = \frac{{\Delta Uo}}{{\Delta (\frac{1}{\lambda })}}$ $= 1,23 \times {10^{ - 6}}$ V/m 0,5pt
• Valeur de la longueur d’onde seuil
Graphiquement, ${\frac{1}{\lambda _0} = }$ ${1,56 \times {{10}^6}}$
Soit ${\lambda _0} =$ $6,41 \times {10^{ - 7}}$ m 0,5pt
5. Lumière que produit l’effet photoélectrique, c’est la lumière de longueur d’onde ${{\lambda _2}}$ car ${{\lambda _2} \succ \lambda o}$ 0,5pt