Exercice I : Mouvement dans les champs de forces et leurs applications / 6 points
Partie A : Mouvement des satellites galiléen / 4,5pts
1. Expression de \({g_h}\) en fonction de \({M_J}\), \({R_J}\) h et G en un point M distant de r du centre de Jupiter, le champ de gravitation crée par Jupiter a pour expression :
\({g_h} = \) \(\frac{{G{M_J}}}{{{r^2}}}\) \( = \) \(\frac{{G{M_J}}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}\) (1) 0,75pt
Déduction de gh en fonction de g0, RJ et h. A la surface de Jupiter, h=0 et \({g_0} = \frac{{G{M_J}}}{{R_J^2}}\) (2)
En prenant le rapport membre aa membre des deux relations, nous avons :
\(\frac{{(1)}}{{(2)}}\) \( = \frac{{{g_h}}}{{{g_0}}}\) \( = \) \(\frac{{R_J^2}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}\)
Ainsi :
\({g_h} = \) \({g_0}\frac{{R_J^2}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}\) 0,25pt
2. Expression de la vitesse v en fonction de MJ, RJ et G
On montre que : \({g_h} = \) \({a_G} = \) \({a_n}\)
\({a_n}\) la composante normale de l’accélération du satellite
\(\frac{{G{M_J}}}{{{{({R_J} + h)}^2}}}\) \( = \frac{{{v^2}}}{{h + {R_J}}}\) 0,5pt
Expression de la période T en fonction de MJ, RJ, h et G
Le satellite parcoure la circonférence de sa trajectoire soit une distance \(2\pi r\) pendant la durée T (période) à la vitesse v
\(T = \) \(\frac{{2\pi r}}{v}\) 0,25pt
Soit
\(T = \) \(2\pi \sqrt {\frac{{{{({R_J} + h)}^3}}}{{G{M_J}}}} \) 0,25pt
3. Montrons que \({T^2}{a^{ - 3}}\) avec \(a = \) \({R_J} + h\) est une constante qui dépend de la masse de Jupiter.
\({T^2} = \) \(4{\pi ^2}\) \(\frac{{{{({R_J} + h)}^3}}}{{G{M_J}}}\) donc
\(\frac{{{T^2}}}{{{{({R_J} + h)}^3}}}\) \( = {T^2}{a^{ - 3}}\) \( = 4{\pi ^2}\) \(\frac{1}{{G{M_J}}}\) 0,25pt
Il en résulte que \({T^2}{a^{ - 3}}\) ne dépend que de MJ
4. Complétons la quatrième ligne du tableau 1pt

Déduction de la masse de Jupiter \({T^2}{a^{ - 3}} = k\)
Avec K la moyenne des quatre valeurs trouvées dans le tableau
\(k = \) \(3,13 \times {10^{ - 16}}\) \({s^2}/{m^3}\) 0,25pt
\(k = \) \(\frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_J}}}\) \( \Rightarrow \) \({M_J} = \) \(\frac{{4{\pi ^2}}}{{kG}}\) 0,25pt
AN : \({M_J} = \) \(1,89 \times {10^{27}}\) kg 0,25 pt
5. Déterminons la période de révolution T du satellite Léda
\({T^2}{a^{ - 3}} = \) \(k \Rightarrow \) \(T = \sqrt {k{a^3}} \) 0,5pt
AN : \(T = 241,75\) jours 0,5pt

Partie B Interactions électrons / 1,5 pt
1. Bilan des forces extérieures s’exerçant sur la tige 0,25x3=0,75pt
\(\overrightarrow F \) Force électrostatique
\(\overrightarrow P \) Poids de la tige
\(\overrightarrow R \) Réaction de l’axe
2. Determinons la valeur de m
A l’equilibre, \(\sum {{M_\Delta }(\overrightarrow {{F_{ext}}} ) = 0} \)
Soit \({M_\Delta }(\overrightarrow P ) + \) \({M_\Delta }(\overrightarrow F )\) \( + {M_\Delta }(\overrightarrow R ) = 0\) 0,25 pt
\(mg\frac{{OA}}{2}\sin (\alpha )\) \( - FOA\cos (\alpha )\) \( = 0\)
\(m = \) \(\frac{{2\left| q \right|.E}}{{g\tan (\alpha )}}\) 0,25pt
AN : m= 0,043 kg 0,25pt

Exercice 2 : Systèmes oscillants /6 points
Partie A : Le pendule pesant /3 points
1. Expression de OG en fonction de R
2. Soit I le milieu de la tige
\(\overrightarrow {OG} = \) \(\frac{{M\overrightarrow {OI} + M\overrightarrow {AO} }}{{2M}}\) \( = \frac{{3\overrightarrow {OI} }}{2}\)
Il en resulte que : \(OG = \frac{{3R}}{2}\) 0,5 pt
3. Expression de \({J_\Delta }\) en fonction de R et M
\({J_\Delta } = \) \({J_\Delta }(t) + \) \({J_\Delta }(s) = \) \(\frac{1}{3}M{(2R)^2}\) \( + M{(2R)^2}\) \( = \frac{{10}}{3}M{R^2}\) 0,5 pt
3.1 Explication :
Le système est soumis à la réaction de l’axe et à son poids. Le moment de la réaction par rapport à l’axe étant nul et celui du poids non nul, le poids est une force de rappel . il résulte que ce système est un oscillateur 0,5pt
3.2 Equation différentielle du mouvement
À la position d’abscisse angulaire \(\theta \)
\(\sum {{M_\Delta }(\overrightarrow F ext)} \) \( = {J_\Delta }\ddot \theta \)
\({M_\Delta }(\overrightarrow R ) + \) \({M_\Delta }(\overrightarrow P )\) \( = {J_\Delta }\ddot \theta \) 0,25 pt
\(0 - \) \(2Mg.\) \(OG\sin (\theta )\) \( = {J_\Delta }\ddot \theta \)
\(\ddot \theta + \) \(\frac{{2Mg.OG}}{{{J_\Delta }}}\) \(\sin (\theta ) = 0\)
Avec \({J_\Delta } = \) \(\frac{{16}}{3}M{R^2}\) et \(OG = \frac{3}{2}R\)
On a dont
\(\ddot \theta + \) \(\frac{{9g}}{{16R}}\) \(\sin (\theta ) = 0\) 0,25pt
L’oscillateur est-il harmonique ?
- Non, il n’est pas harmonique 0,25 pt
- L’équation différentielle n’est pas linéaire 0,25 pt

Partie B : Décharge d’une bobine dans un condensateur /3 points
1. Intensité du courant qui traverse la bobine :
En régime permanent,
\(I = \frac{E}{R}\)
AN : E=12V, \({R = 25\Omega }\)
I=0,48A 0,25pt
2. Explication
Soit r la résistance de la bobine, la tension aux bornes de la bobine est :
\({u_b} = rI\) \( + \frac{{dI}}{{dt}}\) alors \(r \approx 0\) et I constante soit \({u_b} = 0\)
Il en résulte que \({u_c} = 0\) car, le condensateur et la bobine sont montés en dérivation. 0,25 pt
3. Equation différentielle
Pour \(t \succ 0\), \({u_L} + {u_c}\) \( = 0\) soit \(L\frac{{di}}{{dt}} + \) \({u_c} = 0\) 0,25pt
\(i = C\frac{{d{u_c}}}{{dt}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{di}}{{dt}}\) \( = C\frac{{{d^2}{u_c}}}{{d{t^2}}}\) 0,25pt
Il en résulte que
\(LC\frac{{{d^2}{u_c}}}{{d{t^2}}}\) \( + {u_c} = 0\)
\(\frac{{{d^2}{u_c}}}{{d{t^2}}} + \) \(\frac{1}{{LC}}{u_c} = 0\) 0,5pt

4. Expression de \({u_c}(t)\).
\({u_c}(t) = \) \({U_{\max }}\) \(\cos ({\omega _0}t + \varphi )\) avec \({\omega _0} = \frac{1}{{LC}}\) \( = 4303,3\) rad/s 0,25pt
- Valeur de \(\varphi \)
\(\left\{ \begin{array}{l}uc = 0\\u{'_c} \succ 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\cos (\varphi ) = 0\\ - \sin (\varphi ) \succ 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\varphi = - \) \(\frac{\pi }{2}rad\) 0,25 pt
- Valeur de Umax
Umax est obtenue lorsque toute l’énergie magnétique de la bobine (\(\frac{1}{2}L{I_0}\)) est convertie en énergie électrique (\(\frac{1}{2}CU_{\max }^2\)) du condensateur, avec I0=0,48A
\(\frac{1}{2}CU_{\max }^2\) \( = \frac{1}{2}LI_0^2\) \( \Rightarrow {U_{\max }}\) \( = {I_0}\sqrt {\frac{L}{C}} \)
Umax=247,9V
\({u_c}(t) = \) \(247,9\) \(\cos (4303,3t\) \( - \frac{\pi }{2})\) 0,25 pt

Exercice 3 : Phénomènes ondulatoires et corpusculaires /4 points
Partie A : Interférences mécaniques à la surface de l’eau /2 points
1. Conditions vérifiées par S1 et S2
S1 et S2 sont cohérentes et synchrones 0,25x2=0,5pt
2. Calcule de la longueur de l’onde
\(\lambda = \frac{V}{f}\)
AN : \(\lambda = 20Hz\)
3. Nombres de lignes, on a \({d_2} - {d_1}\) \( = k\lambda \) et \(\left| {{d_2} - {d_1}} \right|\) \( \prec {S_1}{S_2}\) ainsi \(\left| k \right|\lambda \) \( \prec {S_1}{S_2}\) 0,25pt
AN : \(\left| k \right| \prec 2,2\)
\(k \in \{ - 2;\) \( - 1;0;1;2\} \)
Il y a 3 lignes d’amplitudes maximales 0,25pt
4. Aspect de la surface de l’eau sous éclairage stroboscopique avec \(f = fe\)
Partie B Radioactivité / 2 points
1. Définition de la radioactivité :
C’est la propriété spécifique de certains noyaux instables de se transformer spontanément en émettant des rayonnements 0,25 pt
2. Equation bilan de la désintégration
\({}_{84}^{210}Po\) \( \to \) \({}_{82}^{206}Pb + \) \({}_2^4He\) 0,25 pt
3. Calcule de l’énergie libérée par la transformation d’un noyau
\(E = \) \(\left| {\Delta m} \right|{C^2}\)
\(E = ({M_{Po}}\) \( - {M_{Pb}} - \) \({M_\alpha }){C^2}\) 0,25 pt
AN : \(E = 7,64\) MeV 0,25pt
4. Calcule de la durée t
Soit p la fraction qui a disparu :
\(p = \) \(\frac{{No - N(t)}}{{No}}\) \( = 1 - {e^{ - \lambda t}}\)
\({e^{ - \lambda t}} = \) \(1 - p\) avec \(\lambda = \frac{{\ln 2}}{T}\)
\(t = \frac{T}{{\ln 2}}\) \(\ln (1 - p)\) 0,25 pt
AN : t=377,7jours 0,25pt

Exercice 4 Exploitation des résultats d’une expérience /4 points
1. Schéma annotée de la cellule photoémissive 0,25x3=0,75pt
2. Tracé du graphe \(Uo = f(\frac{1}{\lambda })\)

Respect de l’échelle 0,25x2=0,5 pt
Tracé de la droite 0,5pt3. Montrons que
\(Uo = \) \(a\frac{1}{\lambda } + b\)
\(eUo = \) \(\frac{{hC}}{\lambda } + \) \(\frac{{hC}}{{\lambda o}}\) \( \Rightarrow \) \(Uo = \) \(\frac{{hC}}{e}\frac{1}{\lambda } - \) \(\frac{{hC}}{{\lambda o}}\) 0,25pt
Avec \(a = \frac{{hC}}{e}\) et \(b = - \frac{{hC}}{{\lambda o}}\) 0,5pt
4. Determinons graphiquement :
• La constance de Planck h
\(a = \frac{{\Delta Uo}}{{\Delta (\frac{1}{\lambda })}}\) \( = 1,23 \times {10^{ - 6}}\) V/m 0,5pt
• Valeur de la longueur d’onde seuil
Graphiquement, \({\frac{1}{\lambda _0} = }\) \({1,56 \times {{10}^6}}\)
Soit \({\lambda _0} = \) \(6,41 \times {10^{ - 7}}\) m 0,5pt
5. Lumière que produit l’effet photoélectrique, c’est la lumière de longueur d’onde \({{\lambda _2}}\) car \({{\lambda _2} \succ \lambda o}\) 0,5pt