Application des compétences sur les systèmes d’équation

Un parc d’aire 600 m² a la forme d’un triangle rectangle donc le plus long cote mesure 50 m, dans le parc, cohabitent exclusivement des lionnes, des chèvres et des dindons tous normaux. On y compte 100 têtes, 66 cornes et 300 pattes. Pour sécuriser ce parc, le propriétaire a pour projet de l’entourer de deux rangées de fils barbelé qui se vend à 1 400 francs CFA le mètre sur le marché. Pour l'entretien et la prise en charge de ce parc, le propriétaire décide d'engager les employés. Un soir, après le travail, tous les employés de ce décident d'aller dîner dans un restaurant . Après dégustation ils devaient se partager équitablement la facture que s'élevait à 15 O00 francs CFA , mais deux d'entre eux déclarent ne pas avoir d'argent et les autres employés ont vu leur part augmenter de 3750 francs CFA.
1. Déterminer le nombre d’employés de ce parc.
2. Déterminer le nombre d’animaux de chaque espèce.
3. Combien lui faudra-t-il pour acheter la quantité nécessaire de fil barbelé?

1. Calculons le nombre d’employés.
Il faut déjà comprendre que lorsque les deux employés déclarent ne pas avoir d’argent, ce qu’ils devraient payer est reversé aux autres, soient $\frac{{3750}}{2} = 1875$.
Alors chaque employé devait payer 1875 FCFA
Calculons le nombre d’employé $n$
$n = \frac{{15000}}{{1875}} = 8$ employés
2. Déterminons le nombre d’animaux de chaque espèce.
Soient $x$ le nombre de lionnes, $y$ le nombre de chèvres et $z$ le nombre de dindons
• Chaque animal ayant une tête, on a $x + y + z = 100$
• La lionne a 4 pattes, la chèvre 4 pattes et le dindon 2 pattes, ainsi $4x + 4y + 2z = 300$
• La lionne a 0 corne, la chèvre 2 cornes et le dindon 0 corne, ainsi $2y = 66$
La résolution de ce système de trois équations à trois inconnues nous permet d’avoir : $\left\{ \begin{array}{l} x = 17\\ y = 33\\ z = 50 \end{array} \right.$
3. Calculons la dépense pour acheter le fil
Il nous revient ici de calculer la base et la hauteur de ce triangle rectangle
$S = \frac{{b \times h}}{2} \Rightarrow $ $h = \frac{{2S}}{b}$
D’après le théorème de Pythagore
${b^2} + {h^2} = $ ${50^2} \Rightarrow {b^2} + {\left( {\frac{{2S}}{b}} \right)^2} = {50^2}$
Vous avez ici une équation bicarrée en $b$ de solution $b = 40$ ou $b = 30$
Si la base est $b = 40$ la hauteur sera $h = 30$ et réciproquement
Calculons donc le périmètre de ce rectangle
$P = 30 + 40 + $ $50 = 120m$
La longueur du fil est $l = 2P = 240m$
La dépense est donc $D = l \times 1400 = $ $336000FCFA$