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Étudier la fonction suivante g(x)=(x-1)e^(-x)
il y a 7 mois 4 semaines - il y a 7 mois 4 semaines #236
par franc03
Étudier la fonction suivante g(x)=(x-1)e^(-x) a été créé par franc03
Pour étudier la fonction \(g(x) = (x - 1){e^{ - x}}\) , nous allons examiner différentes propriétés telles que le domaine, les limites, les dérivées, les variations, et les points particuliers tels que les points critiques et les points d'inflexion.
1. Domaine de la fonction :
La fonction est définie pour tous les réels.
2. Limites :
Limite lorsque $x$ tend vers \( + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = 0\) car \({e^{ - x}}\) tend plus rapidement vers 0 que $x$ ne tend vers l'infini.
car $x$ tend plus rapidement vers \( + \infty \) que $x$ ne tend vers l'infini.
Limite lorsque $x$ tend vers \( - \infty \), Limite lorsque $x$ tend vers \( + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = 0\) car \({e^{ - x}}\) tend plus rapidement vers 0 que $x$ ne tend vers l'infini.
3. Dérivée :
Pour trouver la dérivée de \(g(x)\) nous utilisons la règle du produit et la dérivée de \({e^{ - x}}\), qui est − \( - {e^{ - x}}\)
\(g'(x) = {e^{ - x}} - \) \((x - 1) = (2 - x){e^{ - x}}\)
Points critiques : Les points critiques sont trouvés en résolvant \(g'(x) = 0\). Ici, \(g'(x\) s'annule lorsque \(x = 2\).
4. Signe de la dérivée et variations :
• La dérivée \(g'(x) = (2 - x){e^{ - x}}\) est positive pour \(x \prec 2\) et négative pour \(x \succ 2\)
• Donc, la fonction \(g(x)\) est croissante sur \(( - \infty ,2)\) et décroissante sur \((2, + \infty )\).
5. Points d'inflexion :
Pour trouver les points d'inflexion, nous devons examiner la concavité de la fonction. La seconde dérivée est :
\(g''(x) = (x - 3){e^{ - x}}\)
La concavité change de positive à négative à \(x = 3\), mais comme \(g''(3) = 0\), il n'y a pas de point d'inflexion.
6. Comportement asymptotique :
Comme mentionné précédemment, la fonction tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers \( + \infty \)et vers \( - \infty \)
En résumé, la fonction \(g(x) = (x - 1){e^{ - x}}\) a un minimum local en \(x = 2\), est croissante sur \(( - \infty ,2)\) et décroissante sur \((2, + \infty )\), et tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers \( + \infty \) et \( - \infty \).
7 Tracé de la fonction $g(x)$
1. Domaine de la fonction :
La fonction est définie pour tous les réels.
2. Limites :
Limite lorsque $x$ tend vers \( + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = 0\) car \({e^{ - x}}\) tend plus rapidement vers 0 que $x$ ne tend vers l'infini.
car $x$ tend plus rapidement vers \( + \infty \) que $x$ ne tend vers l'infini.
Limite lorsque $x$ tend vers \( - \infty \), Limite lorsque $x$ tend vers \( + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = 0\) car \({e^{ - x}}\) tend plus rapidement vers 0 que $x$ ne tend vers l'infini.
3. Dérivée :
Pour trouver la dérivée de \(g(x)\) nous utilisons la règle du produit et la dérivée de \({e^{ - x}}\), qui est − \( - {e^{ - x}}\)
\(g'(x) = {e^{ - x}} - \) \((x - 1) = (2 - x){e^{ - x}}\)
Points critiques : Les points critiques sont trouvés en résolvant \(g'(x) = 0\). Ici, \(g'(x\) s'annule lorsque \(x = 2\).
4. Signe de la dérivée et variations :
• La dérivée \(g'(x) = (2 - x){e^{ - x}}\) est positive pour \(x \prec 2\) et négative pour \(x \succ 2\)
• Donc, la fonction \(g(x)\) est croissante sur \(( - \infty ,2)\) et décroissante sur \((2, + \infty )\).
5. Points d'inflexion :
Pour trouver les points d'inflexion, nous devons examiner la concavité de la fonction. La seconde dérivée est :
\(g''(x) = (x - 3){e^{ - x}}\)
La concavité change de positive à négative à \(x = 3\), mais comme \(g''(3) = 0\), il n'y a pas de point d'inflexion.
6. Comportement asymptotique :
Comme mentionné précédemment, la fonction tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers \( + \infty \)et vers \( - \infty \)
En résumé, la fonction \(g(x) = (x - 1){e^{ - x}}\) a un minimum local en \(x = 2\), est croissante sur \(( - \infty ,2)\) et décroissante sur \((2, + \infty )\), et tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers \( + \infty \) et \( - \infty \).
7 Tracé de la fonction $g(x)$
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